Занятие 14. Решение системы ДУ методом Эйлера

Ауд.

Л-4. Гл. 10

№ 431, 434, 436, 437.

☺ ☻ ☺

Общие сведения. Учитывая, что трудоёмкость решения систем дифференциальных уравнений существенно зависит от числа функций, участвующих в построении системы, в предлагаемых для самостоятельных упражнений заданиях мы ограничиваемся системами, состоящими из двух уравнений. Поэтому все общие выражения, применяемые при решении систем уравнений, относим только к системам двух дифференциальных уравнений: (1)

где – действительные числа (постоянные); , – искомые, дифференцируемые функции.

Замечание: при ссылках на отдельные уравнения системы будем использовать двухпозиционные записи; например: (1.1) – ссылка на 1-е уравнение системы (1).

Решение системы уравнений подсказывает равносильность системы (1) линейному дифференциальному уравнению 2-го порядка с постоянными коэффициентами для любой из функций , , а также свойство производной функции : при дифференцировании вид функции не меняется. Так как в системе уравнений участие функций , согласовывается при помощи коэффициентов , то, нетрудно догадаться, что решение системы следует искать в виде: , , (2)

причем коэффициенты , =1,2 – будут определяться из условия, что совокупность функций в записи (2) есть решение системы уравнений (1):

или (3)

Замечание: система уравнений (3) записана с учётом деления каждого из уравнений на общий множитель: .

Известно, система линейных однородных (алгебраических) уравнений имеет ненулевые решения только в случае, если её определитель равен нулю:

= =0. (4)

Уравнение-многочлен =0 называется характеристическим для системы (1), его корни – характеристическими корнями этой системы.

Дальнейшее использование полученных характеристических корней зависит от их вида. Различают случаи:

Случай -1. Корни уравнения ∆(k) = 0 действительные и различные: , .

Для каждого из системы (3) определится набор коэффициентов: , , =1,2, что определит полный набор решений системы (1):

= · , = · , (5)

Учитывая теорему: сумма решений однородной системы уравнений – тоже решение, можем записать общее решение системы уравнений (1):

= · + · = · · + · · , (6)

где , - произвольные постоянные. Запись (6) называют общим решением системы уравнений (1).

Если заданы начальные условия: = , = , можно определить такие значения , , что из множества интегральных кривых будет выделена та, которая проходит через точку .

Случай -2. Корни уравнения ∆(k) = 0 комплексные: = .

Для пары корней из системы (3) определятся: = i ; = i . Применим сначала знак , запишем решение системы (1):

= · = · , (7)

после выполнения операций умножения комплексных чисел и несложных тождественных преобразований в выражении (7) получим:

= · = · + · . (8)

Аналогично, применяя знак , получаем решение системы (1) с теми же величинами, но только со знаком перед мнимой единицей :

= · = · – · . (9)

Известно (была доказана теорема!), что от записей решений системы (1) с использованием выражений (8) и (9) можно перейти к записям:

= · и = · . (10)

Учитывая теорему: сумма решений однородной системы уравнений – тоже решение, можем записать общее решение системы уравнений (1):

= · + · = · · + · · , (11)

где , - произвольные постоянные. Запись (11) называют общим решением системы уравнений (1) для пары характеристических корней .

Если заданы начальные условия: = , = , можно определить такие значения , , что из множества интегральных кривых будет выделена та, которая проходит через точку .

Случай -3. Корни уравнения ∆(k) = 0 действительные и равные: = = .

Для каждого из системы (3) определится набор коэффициентов: = и = . Это значит, что необходимо как-то учесть равенство (кратность) характеристических корней. В отличие от способа учёта кратных корней при решении уравнений высшего порядка для одной функции, в случае системы уравнений ищут сразу пару решений, используя конструкцию: = · , (12)

Так как выражение (12) должно быть решением, то необходимо участвующие параметры подчинить заданной системе уравнений (1). Подставим (12) в систему (1), сократив на число , получим систему тождеств:

(13)

Приравнивая в тождествах (13) коэффициенты при одинаковых степенях , получаем системы уравнений: при : (14)

при : (15)

Порядок нахождения параметров , =1,2 из систем уравнений (14) и (15):

1). Из системы (14) находим параметры : так как определитель системы равен 0, то ненулевые решения у системы найдутся. Принимая свободную неизвестную = , получим в выражении (12) участие свободной неизвестной. Параметр будем использовать как произвольную постоянную в записи решения системы (1) – признак общего решения системы!

2). Используя найденные параметры , решаем систему уравнений (15). Это система также имеет ненулевые решения: . Принимая свободную неизвестную = , получим в выражении (12) участие ещё одной свободной неизвестной. Параметр будем использовать как произвольную постоянную в записи решения системы (1) – признак общего решения системы!

Итак, получено общее решение системы дифференциальных уравнений (1) для случая кратных действительных корней.

Если заданы начальные условия: = , = , можно определить такие значения , , что из множества интегральных кривых будет выделена та, которая проходит через точку .

••• ≡ •••

Пример 1 – 431: Решить систему линейных уравнений:

Решение:

1). Найдем характеристические корни системы: = = 0, откуда получаем: = 1, =2. Для каждого определится набор коэффициентов: , , что определит полный набор решений заданной системы:

= ∙ = ∙ , = ∙ = ∙ . (1.1)

2). Для определения векторов , составим систему уравнений:

(2.1)

3). Для корня = 1 система (2.1) имеет решение = ; для =2 система (2.1) имеет решение: = .

Замечание: решение системы (2.1) проводится по известным правилам из курса «Линейная алгебра».

4). С учетом полученных векторов , составим общее решение исходной системы дифференциальных уравнений: =1, = 0

= + = ∙ + ∙ . (3.1)

Ответ: общее решение системы: = + = ∙ + ∙ .

Пример 2 – 434: Решить систему уравнений:

Решение:

1). Найдем характеристические корни системы: = = 0, откуда получаем: . Для каждого определится набор коэффициентов: , , что определит полный набор решений системы (1):

= ∙ = ∙ , = ∙ = ∙ . (1)

2). Для определения векторов , составим систему уравнений:

(2)

3). Для корня система (2) имеет решение: = , для которого можно записать: = ∙ = ∙ .

4). Для корня решение системы (2): = , тогда:

= ∙ = ∙ .

5). Видим: решения и комплексно-сопряженные. Это значит (Теорема!), что в качестве частных решений системы уравнений можем взять отдельно мнимую и действительную части. Получаем:

= ∙ , = ∙ , (3)

6). С учетом полученных частных решений (3) составим общее решение исходной системы дифференциальных уравнений:

= + = ∙ + ∙ . (4)

Ответ: Общее решение: = ∙ + ∙ .

Пример 3 – 436: Решить систему уравнений: при условии: .

Решение:

1). Найдем характеристические корни системы: = = 0, откуда получаем: = =–3. В этом случае решение системы ищут в виде:

= , (1.3)

2). Подставим (1.3) исходную систему уравнений:

(2.3)

3). Так как в системе уравнений (2.3) каждое уравнение является тождеством, то все неизвестные коэффициенты найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях: и :

при : откуда получаем: ; (3.3)

при : откуда получаем: ; (4.3)

из (3.3) примем: , , из (4.3): примем , .

Замечание: решение системы (3.3), (4.3) проводится по известным правилам из курса «Линейная алгебра»: объявление неизвестных «свободными» содержит некоторые импровизации, которые не влияют на выражение частного решения при заданных начальных условиях!

4). Учитывая полученные значения коэффициентов, можно записать общее решение заданной системы: = ∙ . (5.3)

5). Учитывая начальные условия и запись общего решения, получим:

= , откуда и = ∙ . (6.3)

Ответ: Общее решение системы: = ∙ , частное: = ∙ .

Пример 4 – 437: Найти частное решение системы: для условий: .

Решение:

1). Найдем характеристические корни системы: = = 0, откуда получаем: =1, =– + i , =– – i . Для каждого определится набор коэффициентов: , , , что определит полный набор решений заданной системы:

= ∙ e^t = ∙ , = ∙ = ∙ , = ∙ = ∙ , (1.4)

2). Для определения векторов , , составим систему уравнений:

(2.4)

3). Для корня система (2.4) имеет решение: = и тогда: = ∙ = ∙ .

4). Для =– + i система (2.4) имеет решение: = , для которого можно записать: = ∙ = ∙ = .

5). Для =– – i получим частное решение: = . Это значит (согласно Теореме), можем записать: = , = . Окончательно запишем:

= ∙ , = ∙ .

6). С учетом полученных векторов , , составим общее решение исходной системы:

= + + = .

7). Учитывая начальные условия и запись общего решения, получим:

, откуда =1, = 0, = 0. (3.4)

после чего частное решение системы принимает вид: .

Ответ: частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: .

Вопросы для самопроверки:

1. Как по записи системы уравнений 1-го порядка определить, что она линейная?

2. Почему линейная система однородных уравнений с постоянными коэффициентами удовлетворяет требованиям теоремы «о существовании и единственности решений»?

3. Как записывают характеристический многочлен для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами?

4. Как записывают общее решение системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами?

5. Как находят частное решение системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами?

6. Как учитывают кратность характеристических корней при решении системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами?

☺FE☺