2015-05-13
617
Что такое планирование?
В п. 1.2 мы начали с примера, в котором рассматривались проблемные ситуации, возникающие на самом нижнем уровне производственного предприятия – на уровне организации технологического процесса. При этом нас интересовала только задача выбора оборудования или рабочих мест.
Однако, при более полном рассмотрении производственных ситуаций, необходимо решать не только задачу выбора оборудования, но и распределить работы по периодам выполнения заказов. Например, годовое производственное задание нужно распределить по кварталам, месяцам, неделям, дням (в последнем случае говорят о сменно-суточном задании).
Если производимое изделие является сложным, состоит из многих блоков и технологических операций, требующих для их выполнения специалистов различных квалификаций, то возникает задача распределения работ между производствами, цехами, участками и т. п. структурными подразделениями предприятия, между работниками – исполнителями.
Например, инженеры проектируют изделие, технологи разрабатывают технологию его производства, рабочие разной квалификации изготовляют детали, собирают блоки и изделие в целом. При этом создаются соответствующие проектные подразделения, технологические отделы, производства, цехи, участки.
|
|
|
Так, выпуск автомобиля требует создания литейного производства (для получения металла для деталей), сварочного, сборочного производства, производств для изготовления деталей, двигателя и т. п.
Весь комплекс задач по распределению заказов между производствами, цехами, участками, работниками, по плановым периодам – кварталам, месяцам и т. п. – принято объединять единым термином – планирование. Планирование – это не только задачи распределения, но и выбор заказчиков, определение объёма выпуска продукции и т. п.
Если производство – массовое (например, производство однотипных изделий – одинаковых деталей, блоков, радиоэлектронных устройств, автомобилей и т. п.), то для решения задач планирования могут быть использованы аналитические методы.
Например, если известно число изделий N, которые нужно произвести, число станков (или цехов) ”k”, способных производить этот вид продукции, и предельная загрузка оборудования в соответствующем плановом периоде (например, в неделю, месяц, год)– nmax, то имеем обычную арифметическую задачу: нужно распределить изделия по станкам или цехам: ni =N/k и проверить затем, не превышает ли полученная загрузка nmax, поскольку должно быть: ni < nmax.
Например, при N= 210, k=3 и nmax = 70 получим: 
т. е. задача решается наилучшим образом: все изделия будут распределены и все станки (или цеха) будут предельно загружены.
|
|
|
Но на практике так почти не бывает. Либо заказов на это изделие больше, чем возможностей оборудования; либо заказов меньше, и оборудование простаивает. Либо общее число изделий не делится без остатка на число станков или цехов.
Тогда принимают решения: либо отказаться от лишних заказов, либо искать дополнительные заказы, либо допускать перегрузку одних станков (цехов) или недогрузку других.
Но ситуация может быть и более сложной, если изделий несколько, цена их различна, и загрузить оборудование нужно таким образом, чтобы получить максимальную прибыль.
Тогда могут помочь методы математического программирования.
Предположим, что известно:
- в трех цехах (Ц1 Ц2, Ц3) изготавливаются два вида изделий И1 и И2;
- загрузка каждого цеха аi при изготовлении каждого из изделий (оцениваемая, например, в процентах %);
- прибыль (или цена) Сi от реализации изделий (в некоторых денежных единицах).
Требуется определить: сколько изделий каждого вида следует производить при возможно более полной загрузке цехов, чтобы получить за рассматриваемый плановый период максимальную прибыль.
Такую ситуацию удобно отобразить таблицей 1.1, которая
Таблица 1.1
| Изделия | Цех (участок) | Цена изделия | ||
| Ц1 | Ц2 | Ц3 | ||
| И1 И2 | 5% 4% | 1,6% 6,4% | 2,9% 5,8% | |
| Максимальная загрузка | 100% | 100% | 100% |
подсказывает характерную для задач математического программирования форму представления задачи, т. е. целевую функцию (в данном случае определяющую максимизацию прибыли или объема реализуемой продукции):
, (1.3)
и ряд ограничений (в данном случае диктуемых возможностями цехов, т. е. их предельной 100% –ой загрузкой):
|
1,6х1 + 6,4х2 £ 100,
2,9х1 + 5,8х2 £ 100.
Решение этой задачи: х1 = 9, х2 = 13 (типовая задача линейного программирования).
В общем случае может быть несколько групп подобных ограничений (например, по имеющимся материалам разного вида, себестоимости, зарплате рабочих и т. п.). Но в любом варианте подобная постановка задачи – это классическая задача линейного программирования – одного из наиболее простых методов исследования операций, которая решается как графически, так и аналитически, и для которой отработаны, в том числе, и стандартные программы для ЭВМ, реализующие её алгоритмы решения.
В зависимости от вида целевой функции и принципов организации решения выделяют направления математического программирования: линейное (при линейном характере целевой функции); нелинейное (целевая функция нелинейна); целочисленное (ограничения на характер переменных – только целые числа); динамическое и т. п. Невзирая на указанную специфику, основная суть постановки задачи в них сохраняется.
Но на практике бывает ещё сложнее: либо станок вышел из строя, либо рабочий заболел, … Тогда нужно при планировании предусматривать резервы с учетом результатов предварительного статистического анализа и вводить коэффициенты, учитывающие возможные сбои производства по причинам износа оборудования, болезней и т. п.
Статистические методы помогают и в других ситуациях: при планировании ремонтных работ (ремонта оборудования, вычислительных устройств, измерительных приборов и т. п.), определении числа терминалов для доступа к информационной системе и других задач, которые относят к классу задач массового обслуживания.
Предположим, что известно: число поступивших заявок на ремонт вычислительных устройств (например, персональных ЭВМ) в среднем в год ¡ = 120 шт/год; время, требуемое на сложный ремонт одной ЭВМ одним специалистом сервисной фирмы, t = 0,5 месяца = 1/24 года.
Требуется определить: сколько специалистов (k) должно быть в штате фирмы и, при необходимости, параллельно выполнять ремонтные работы, чтобы не задерживать выполнение заявок больше, чем на tmax = 0,5 месяца.
|
|
|
Если для решения этой задачи применить аналитические представления, то рассуждать нужно так: если заявки на ремонт поступят в один день (такая ситуация, в принципе, возможна), то для того, чтобы одновременно проводить ремонт всех n=120 ЭВМ и выполнять заявки в обещанные в рекламе 0,5 месяца, нужно 120 специалистов, поскольку каждому из них на ремонт ЭВМ нужно 0,5 мес. =1/24 года, т. е.:
1) 
Т = t×n = 1/24 года х 120 шт. = 5 шт. – год = 5 чел. – лет, где Т – общее время, требуемое на ремонт n ЭВМ, а 1 чел. и 1 шт. (ЭВМ) взаимозаменяемы;
2) k = T/tmax = 5 чел.–лет/ (1/24 года) = 120 человек.
Но ведь это так маловероятно, что все 120 ЭВМ, поступающие на ремонт, были сданы в один день.
Вероятность – это уже понятие статистических представлений. Из арсенала статистических методов для решения данной задачи можно применить прикладную статистическую теорию – теорию массового обслуживания.
Предположим, что поступление ЭВМ на ремонт подчиняется самому распространенному в практике закону – закону Пуассона:
|
,
где l – математическое ожидание, или среднее значение случайное величины Х; этому же значению в законе Пуассона равна и дисперсия случайной величины, т. е. l= m = s2; е» 2,7 – основание натурального логарифма.
Исследования закона Пуассона показывают, что l = nt, где n - плотность потока, т. е. среднее число заявок, поступающих на обслуживание (ремонт и т. п.), t – среднее время обслуживания одной заявки (вв рассматриваемой задаче – ремонта одной ЭВМ).
Тогда l =m = s2 = nt.
Применяя этот закон к задаче о ремонте ЭВМ, получим:
l = 120 × (1/24) = 5,
т. е. если поток заявок подчиняется закону Пуассона, то одновременно на ремонт могут поступать 1, 2, …, но не более пяти заявок, поскольку математическое ожидание числа поступающих заявок равно пяти.
Следовательно, нужно, чтобы в штате сервисной фирмы было не менее пяти специалистов, умеющих выполнять ремонт ЭВМ.
Если учесть ещё и дисперсию, то число требуемых специалистов нужно увеличить на два. Значит, при наличии в штате семи сотрудников фирма может гарантировать заказчику выполнение ремонта его ЭВМ в среднем за 0,5 месяца.
|
|
|
Однако при выполнении любых статистических расчётов нужно помнить, что результат может быть реализован только с некоторой вероятностью, которую следует оценивать и учитывать.
В данной задаче посчитать вероятность выполнения заявок при пяти исполнителях можно, используя график плотности вероятности распределения Пуассона при l = 5:
Суммируя вероятности появления 1, 2, …, 5 заявок, получим:
.
Таким образом, 5 специалистов должны справиться с обещаниями фирмы с вероятностью 0,6. Учёт дисперсии несколько скорректирует эту оценку. А если учесть дополнительные случайности (болезнь или иные причины отсутствия сотрудников на рабочем месте, неисправность инструментов и приборов, необходимых для ремонта, отсутствие необходимых запасных элементов,…), то рекламируемые полмесяца в лучшем случае будут выполняться в половине случаев, т. е. через одного заказчика.
Если руководитель считает, что это плохо, он может попытаться увеличить вероятность выполнения поставленных условий, увеличивая число сотрудников. Пользуясь приведенным выше графиком Рk(k), легко получить, что при увеличении числа специалистов до 9 вероятность выполнения условий повысится до 0,95. Это уже приемлемо. Да и число сотрудников придётся не так сильно увеличить (не 120 же!).
А если бы руководителю фирмы захотелось получить 100%-ую гарантию, т. е. Р=1, то, продолжая суммирование вероятностей для значений k=10,11,…, получили бы, что число сотрудников пришлось увеличить до 120.
Такой результат получается благодаря тому, что предварительно исследован процесс поступления заявок и определена закономерность, которой подчиняется поток заявок, и на её основе определено математическое ожидание числа заявок, поступающих в дискретный интервал времени – полмесяца.
Но для того, чтобы можно было доверять получаемым результатам, нужно: во-первых, всегда интересоваться двумя параметрами – сколько? и с какой вероятностью? – и выбирать из получаемых вариантов приемлемый для конкретных условий; во-вторых, нужно доказать представительность (репрезентативность) выборки, на основе которой получен реальный закон распределения заявок, который может отличаться от закона Пуассона.
На практике, если нет возможности доказать репрезентативность выборки (или вообще нет опыта деятельности фирмы), можно иногда применить методы сетевого планирования ( для описания последовательности работ в пространстве и во времени).
Такая возможность есть, например, на промышленном предприятии. Можно попросить подразделения предприятия заранее дать заявки на ремонт оборудования по желаемым временным периодам, а затем скорректировать график заявок, попытавшись распределить их равномерно по месяцам. Подобное распределение ремонтных работ по временным периодам называется графиком планово – предупредительных ремонтов. При составлении такого графика можно учесть вероятности отказа оборудования, виды неисправностей, требуемую квалификацию ремонтных бригад, график отпусков и т. п.
На крупных предприятиях применяется именно этот метод планирования ремонтных работ. Но только для профилактических ремонтов, предупреждающих выход оборудования из строя. В случаях же неожиданных поломок оборудования нужно применять методы теории массового обслуживания.
Но изделия могут быть разнотипными, а заказы – разными по объему. Тогда необходимы другие методы.
Приведем пример постепенной формализации с использованием методов морфологического моделирования.
§ 2. Применение морфологического подхода при принятии плановых решений в условиях позаказной системы производства.
Предположим, что цех получает задание на производство продукции не в штуках, а в виде заказов, включающих изделия, одинаковые по трудоёмкости изготовления, но имеющие определенные отличительные особенности (например, различную окраску, комплектацию и т. п.).
Так может планироваться производство приборов разного рода, специального оборудования, автомобилей для экспорта, специализированных интегральных элементов электронных устройств,… Для простоты допустим, что речь пойдет о сборочном цехе и о производстве достаточно крупных изделий, объёмы заказов которых исчисляются в штуках.
Пусть требуется выполнить следующие заказы: Z1=20, Z2=20, Z3=30, Z4=40, Z5=50, Z6=60 (объёмы заказов даны в условных единицах: это могут быть либо изделия большого размера, либо объёмы заказов в тысячах штук и т. п.).
Для их выполнения в цехе имеются три взаимозаменяемые сборочные линии, по которым заказы нужно распределить по возможности равномерно, но в то же время не дробить заказы на части, так как это усложняет ведение документации и учет поставок продукции заказчику.
Эта задача может быть отнесена к классу задач загрузки оборудования. Для решения подобных задач иногда могут применяться методы математического программирования. Например, для рассматриваемой задачи целевая функция может иметь следующий вид:
(2.1.)
где Фj – общий фонд времени работы j-го вида оборудования (в данном случае – линий сборки) в плановом периоде; хi – количество изготавливаемых изделий i-го вида; aij – трудоёмкость изготовления (временные затраты) одного изделия i-го вида на j-ом виде оборудования.
Таким образом, даже если не выполнять одно из требований задачи – не дробить заказы – то и вэтом случае задача не может быть представлена в форме наиболее исследованной и имеющей стандартное программное обеспечение задачи линейного программирования, так как разность в (2.1) может менять знак (возможна либо недогрузка, либо перегрузка оборудования), т. е. целевая функция может изменяться скачком (немонотонна) и её минимизация теряет смысл.
Существуют эвристические алгоритмы решения этой задачи. Например, задаваясь Фj и хi, и зная (из нормативных источников–справочников) аij,, вычисляют фактическую трудоёмкость изготовления всех изделий Тj (на j-ом оборудовании), коэффициенты загрузки оборудования h=Tj/фj и его пропускной способности h=1/h, перегрузку + 
и недогрузку - 
, по значениям которых судят о необходимости изменения хi. Процедура повторяется до тех пор, пока не получатся приемлемые значения +Dхi и –Dхi.
В таком эвристическом алгоритме можно учесть больше факторов производственного процесса: например, можно учесть коэффициенты сложности, износа и переналадки оборудования и т.п.
Однако и этот алгоритм не позволяет выполнить одно из требований, содержащихся в условии данной задачи,– не дробить заказы.
Можно предложить и другие эвристические алгоритмы: расположить заказы в порядке возрастания и соединять крайние; или просуммировать объёмы заказов и разделить на число линий сборки, а затем пытаться подобрать усредненный объём.
Однако, во-первых, при большом числе заказов эти алгоритмы также нереализуемы, а во вторых, если в приводимом примере первый заказ имеет объём, не делящийся на число линий без дробления, то получаем дополнительную трудность.
Рассмотрим возможность применения для решения этой задачи метода морфологического ящика. Сформируем из заказов морфологическую матрицу (таблица 2.1).
Таблица 2.1
| L | A | B | б) | L(J) | ZА(J) | OZA(J) | ZB(G) | OZB(G) |
| Л1 Л2 Л3 | Z1=20 Z2=20 Z3=30 | Z4=40 Z5=50 Z6=60 | Л1 Л2 Л3 | Z1 Z2 Z3 | Z4 Z5 Z6 |
в)
| L(J) | ZA(J) | ZA(G) | S | В А Р И А Н Т Р Е Ш Е Н И Я | ||||||||
| Л1 Л1 Л1 Л2 Л2 Л2 Л3 Л3 Л3 | – + – – – | + – – | + | – + – – – | – + – | + | – – + – – | – + – – | + | |||
Формировать матрицу-ящик (МЯ) будем не из векторов-строк, как в исходном варианте Цвикки, а из векторов-столбцов, что удобнее для работников плановых отделов (это похоже на привычные для них таблицы планов загрузки производств, кварталов и т. п.).
При формировании столбцов можно предложить какой-либо принцип объединения заказов в группы. Например, можно учесть приоритетность выполнения заказов и выделить, соответственно, группы: экспортные заказы, заказы для других отраслей и внутриотраслевые заказы.
В рассматриваемой задаче заказы вначале объединим подряд в 2 группы: А=<Z1, Z2, Z3> и В=<Z4, Z5, Z6> (табл. 2.1а). Если приемлемое решение не будет получено, то МЯ можно переформировать, объединив заказы иначе.
На основе полученной МЯ можно, комбинируя элементы столбцов (по одному из каждого столбца) образовать возможные размещения заказов по линиям сборки (обозначенным L=<L1, L2, L3>), из которых далее нужно сформировать требуемое решение или варианты решения по следующему принципу: решение должно состоять из трёх размещений, отражающих загрузку всех трёх линий сборки; при этом один и тот же заказ не может планироваться для выполнения больше, чем на одной линии, и все заказы должны быть выполнены.
Идея исключения заказов иллюстрируется таблицей 2.1 в: заказы, выбранные для загрузки соответствующей линии на предыдущем шаге, исключаются из рассмотрения.
В таблице 2.1 обозначено: наименование заказа в группах А и В–ZA и ZB, соответственно; объёмы заказов в группах А и В – OZA и OZB; S – суммарный объём заказов, выполняемых на одной линии.
Чаще всего, а при большом производстве и объёме заказов – необязательно, этот процесс автоматизируется: по алгоритму составляется программа и выбирается (ЛПР) тот или иной из полученных вариантов решения по размещению заказов.
При этом можно ввести дополнительные критерии – трудоёмкость, объём реализуемой продукции или прибыль от её реализации и т. д., с помощью которых ограничить область допустимых решений.
Кроме того, можно далее ввести качественные критерии. Например, из двух равноценных вариантов с перегрузкой одной из линий можно выбрать вариант с перегрузкой линии, на которой производятся хорошо отработанные конструкции изделия, и, напротив, недогрузить линию, на которой производится вновь осваиваемое изделие.
Аналогично, при решении задачи загрузки плановых периодов можно выбрать вариант с недогрузкой летнего квартала, на который приходится наибольшее число отпусков; или, например, учесть критерий пожелания приоритетного заказчика – выполнить его заказ пораньше.
Таким образом, применяя морфологический подход, получаем человеко –машинную процедуру принятия решений, которая позволяет в интерактивном режиме выбирать варианты решения, поочерёдно используя возможности человека и ЭВМ: вначале с помощью выборов, сделанных человекам, сужать область допускаемых решений и получить варианты загрузки линий или кварталов, затем – уточнять критерии, а при необходимости – переформировать МЯ.
С математической точки зрения такая процедура не является процедурой оптимизации. Её можно квалифицировать как “постепенно ограничиваемый перебор”.
