2015-05-13
472
Кроме декартовой системы координат для определения положения точек на плоскости часто используют полярную систему координат.
| rrr |
это
упорядоченная пара чисел 
. 
это расстояние от
| r |
| М |
(называемой полюсом) до
| ∝ |
. 
угол(выраженный в радианах) между
| О |
и отрезком 
рис.15.
рис.15
Если на плоскости введены одновременно две системы координат декартова система и полярная система, то между ними существует связь (рис.16).
| ∝ |
| А |
| В |
| r |
| X |
| Y |
Рис.16
Из 
(рис.16.) следуют формулы связи
, 
(2.23)
И наоборот
(2.24)
Пример 2.9. Изобразить точку 
на координатной плоскости.
Решение. Сначала нужно поинтересоваться, в каких координатах задана данная точка.
Если в декартовых координатах, то рисунок будет таким (рис.17), если в полярных, то таким (рис.18)
| М |
| М |
| r=3 |
| 115° |
Рис.17 рис.18
Действительно 
.Следовательно 
(см. формулу 2.21).
Упражнение. Изобразить точки заданные в полярной системе координат
и найти прямоугольные координаты этих точек.
Упражнение. Изобразить точки заданные в декартовой системе координат:
и найти полярные координаты этих точек.
Если полярный радиус 
и полярный угол 
связаны друг с другом формулой 
,
то при изменении угла 
будет изменяться и полярный радиус. Точки 
при непрерывном изменении угла опишут некоторую кривую.
Пример 2.10. Построим кривые: 1) 
в декартовой системе координат;
2) 
в полярной системе координат.
Соответствующие эскизы этих кривых приведены ниже
Пример 2.11. Построить по точкам кривые: 1) 
в декартовой системе координат;
2) 
в полярной системе координат.
Соответствующие эскизы этих кривых приведены ниже
Контрольные вопросы.
I. Дайте определения кривых второго порядка:
1) параболы, 2) эллипса, 3)гиперболы
II. На какой оси координат лежат фокусы (с) данных кривых
III. Напишите формулы перехода от декартовой системы координат к полярной
системе и наоборот.
IV. Пусть 
произвольная точка в декартовой системе координат, а 
произвольная точка в полярной системе координат. Дайте рисунки линий
.
