Простейшие преобразования декартовой системы координат. Параллельныйсдвиг осей координат

3 4 5 6 7 8 9

ПУСТЬ ТОЧКА

В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

ИМЕЕТ КООРДИНАТЫ

. ПОМЕСТИМ НАЧАЛО НОВОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

В ТОЧКУ

. ОСЬ

НАПРАВИМ ПАРАЛЛЕЛЬНО ОСИ

, А ОСЬ

ПАРАЛЛЕЛЬНО ОСИ

. ТОГДА В НОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

ТОЧКА

БУДЕТ ИМЕТЬ КООРДИНАТЫ

(РИС.13). ЕСЛИ ТЕПЕРЬ НА ПЛОСКОСТИ РАССМОТРИМ ПРОИЗВОЛЬНУЮ ТОЧКУ

, ИМЕЮЩУЮ В СТАРОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

КООРДИНАТЫ

, ТО В НОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ ТОЧКА БУДЕТ ИМЕТЬ КООРДИНАТЫ

ПЕРЕХОД ОТ КООРДИНАТНОЙ СИСТЕМЫ К СИСТЕМЕ НАЗОВЕМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СДВИГОМ ОСЕЙ КООРДИНАТ (РИС.13).

РИС.13

ПРИМЕР 2.5. НА РИС.14 ПРИВЕДЁН ЧЕРТЁЖ ПАРАБОЛЫ И ВЫПИСАНЫ ЕЁ УРАВНЕНИЯ В СТАРОЙ И НОВОЙ СИСТЕМАХ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ. НОВАЯ СИСТЕМА ПОЛУЧЕНА ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СДВИГОМ ОСЕЙ СТАРОЙ СИСТЕМЫ.

РИС.14

В СТАРОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ИМЕЕТ ВИД

В НОВОЙ «КАНОНИЧЕСКОЙ» СИСТЕМЕ КООРДИНАТ УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ИМЕЕТ КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД

(СМ. ФОРМУЛУ (2.19))

. ЛИНИЯ ПАРАБОЛА.

ЗАМЕЧАНИЕ. ПРИВЕДЁМ ПРИМЕР ЧЕРТЕЖА ПАРАБОЛЫ, У КОТОРОЙ УРАВНЕНИЕ НЕ КАНОНИЧЕСКОЕ. В ДАННОМ СЛУЧАЕ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ «КАНОНИЧЕСКОЙ» СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ТРЕБУЕТСЯ СОВЕРШИТЬ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ СДВИГ ОСЕЙ И ЗАТЕМ ПОВОРОТ СТАРОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ .

В ДЕКАРТОВОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

, КОТОРАЯ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ «КАНОНИЧЕСКОЙ», УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ИМЕЕТ ВИД:

. КРИВАЯ ПАРАБОЛЫ НЕ СИММЕТРИЧНА НИ ОДНОЙ ИЗ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ. ЕСЛИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СДВИГОМ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ НАЧАЛО КООРДИНАТ

ПЕРЕМЕСТИТЬ В ВЕРШИНУ ПАРАБОЛЫ В ТОЧКУ

, А ЗАТЕМ ОСИ ПОВЕРНУТЬ СОГЛАСНО РИСУНКУ, ТО В НОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛЫ СТАНОВИТСЯ КАНОНИЧЕСКИМ (РИС15)

РИС.15

ПРИМЕР 2.6 НА РИС.16 ПРИВЕДЁН ЧЕРТЁЖ ЭЛЛИПСА И ВЫПИСАНЫ ЕГО УРАВНЕНИЯ В СТАРОЙ И НОВОЙ СИСТЕМАХ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ. НОВАЯ СИСТЕМА ПОЛУЧЕНА ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СДВИГОМ ОСЕЙ СТАРОЙ СИСТЕМЫ.

РИС.16

В СТАРОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ИМЕЕТ ВИД

В НОВОЙ «КАНОНИЧЕСКОЙ» СИСТЕМЕ КООРДИНАТ УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ИМЕЕТ КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД

(СМ. ФОРМУЛУ (2.19)) . ЛИНИЯ ЭЛЛИПС.

ЗАМЕЧАНИЕ. ПРИВЕДЁМ ПРИМЕР ЧЕРТЕЖА ЭЛЛИПСА, У КОТОРОГО УРАВНЕНИЕ НЕ КАНОНИЧЕСКОЕ. В ДАННОМ СЛУЧАЕ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ «КАНОНИЧЕСКОЙ» СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

ТРЕБУЕТСЯ СОВЕРШИТЬ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ СДВИГ ОСЕЙ И ЗАТЕМ ПОВОРОТ СТАРОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

В ДЕКАРТОВОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

, КОТОРАЯ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ «КАНОНИЧЕСКОЙ», УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА ОБЫЧНО ИМЕЕТ ВИД:

КРИВАЯ ЭЛЛИПСА НЕ СИММЕТРИЧНА ОТНОСИТЕЛЬНО КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ. ЕСЛИ НАЧАЛО КООРДИНАТ

ПЕРЕМЕСТИТЬ В ЦЕНТР СИММЕТРИИ ЭЛЛИПСА ТОЧКУ

, А ОСИ ПОВЕРНУТЬ СОГЛАСНО РИСУНКУ, ТО В НОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА СТАНОВИТСЯ КАНОНИЧЕСКИМ (РИС.17)

РИС.17

ПРИМЕР 2.7. НА РИС.18 ПРИВЕДЁН ЧЕРТЁЖ ГИПЕРБОЛЫ И ВЫПИСАНЫ ЕЁ УРАВНЕНИЯ В СТАРОЙ И НОВОЙ СИСТЕМАХ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ. НОВАЯ СИСТЕМА ПОЛУЧЕНА ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СДВИГОМ ОСЕЙ СТАРОЙ СИСТЕМЫ.

РИС.17

В СТАРОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ИМЕЕТ ВИД

В НОВОЙ «КАНОНИЧЕСКОЙ» СИСТЕМЕ КООРДИНАТ УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ИМЕЕТ КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД

(СМ. ФОРМУЛУ (2.19))

. ЛИНИЯ ГИПЕРБОЛА.

ЗАМЕЧАНИЕ. ПРИВЕДЁМ ПРИМЕР ЧЕРТЕЖА ГИПЕРБОЛЫ, У КОТОРОЙ УРАВНЕНИЕ НЕ КАНОНИЧЕСКОЕ. В ДАННОМ СЛУЧАЕ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ КАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ТРЕБУЕТСЯ СОВЕРШИТЬ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ СДВИГ ОСЕЙ И ЗАТЕМ ПОВОРОТ СТАРОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ .