2015-05-13
1020
Пусть функция задана параметрически: 
где 
– вспомогательная переменная, называемая параметром.
Нужно найти 
. Предположим, что 
имеет однозначную обратную функцию 
. Продифференцируем уравнение 
по 
, как сложную функцию, считая 
промежуточным аргументом, зависящим от 
: 
; 
. Так как 
, то получим:
. (4)
Пример Пусть 
Найти .
Решение. По формуле (4), получаем 
Производную функции одной переменной в некоторых случаях можно найти значительно проще, если функцию предварительно прологарифмировать, такой метод называется логарифмическое дифференцирование.
Логарифмическое дифференцирование обычно применяется при отыскании производной от степенно-показательной функции и от произведения функций, т.е. в тех случаях, когда обычными методами производную нельзя найти, либо вычисление производной очень громоздко. Конечно, эта операция может применяться и в других случаях.
Определение. Функция 
, у которых основание и показатель степени есть функции независимых переменных, называются степенно-показательными.
Производные таких функций вычисляются только с помощью логарифмического дифференцирования.
Пример Дана функция 
. Найти 
.
Решение. Прологарифмировав функцию , получим
.
Дифференцируем полученное уравнение по 
: 
. Из последнего равенства найдем :
.
