Рассмотрим функцию , имеющую в точке отличную от нуля производную: . По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать , где при , или . Приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых и , являющихся бесконечно малыми при . Заметим, что - бесконечно малая функция одного порядка с , так как , а - функция более высокого порядка, чем : .
Определение. Слагаемое называется главной частью приращения функции .
Определение. Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается или . Заметим, что
. (5)
Определение. Дифференциал называется дифференциалом первого порядка.
Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:
. (6)
В самом деле, так как и , то .
Определение. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной:
. (7)
Так как , то – отношение дифференциалов и .
|
|
Пример Найти дифференциал функции .
Решение. По формуле находим:
.
Пример Найти полное приращение функции и ее дифференциал, сравнить их значения при .
Решение. Полное приращение запишем в виде:
. Преобразуем это выражение: . По определению найдем полный дифференциал: . Подставив , получим, и .
Приращение любой дифференцируемой функции приближенно с большой точностью можно вычислить при помощи равенства: .
Приращение функции в точке можно представить в виде , где при . Отбросим бесконечно малую более высокого порядка, чем , получим приближенное равенство: . Чем меньше , тем точнее равенство.
Так как , , то из равенства или получим формулу для вычислений приближенных значений функци:
(8)
Пример Вычислить приближенно приращение функции при изменении от значения 2 к значению 2,02.
Решение. Так как достаточно малых : ().
Найдем : . Вычислим . Итак, .
Определение. Производная, взятая от первой, называется производной второго порядка; производная, взятая от производной второго порядка, называется производной третьего порядка и т.д.:
;
;
.
Определение. Производной -го порядка называется производная, взятая от производной -порядка.
Пример Найти производную -го порядка от функции .
; ; ;