Дифференциал функции

Рассмотрим функцию , имеющую в точке отличную от нуля производную: . По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать , где при , или . Приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых и , являющихся бесконечно малыми при . Заметим, что - бесконечно малая функция одного порядка с , так как , а - функция более высокого порядка, чем : .

Определение. Слагаемое называется главной частью приращения функции .

Определение. Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается или . Заметим, что

. (5)

Определение. Дифференциал называется дифференциалом первого порядка.

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:

. (6)

В самом деле, так как и , то .

Определение. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной:

. (7)

Так как , то – отношение дифференциалов и .

Пример Найти дифференциал функции .

Решение. По формуле находим:

Пример Найти полное приращение функции и ее дифференциал, сравнить их значения при .

Решение. Полное приращение запишем в виде:

. Преобразуем это выражение: . По определению найдем полный дифференциал: . Подставив , получим, и .

Приращение любой дифференцируемой функции приближенно с большой точностью можно вычислить при помощи равенства: .

Приращение функции в точке можно представить в виде , где при . Отбросим бесконечно малую более высокого порядка, чем , получим приближенное равенство: . Чем меньше , тем точнее равенство.

Так как , , то из равенства или получим формулу для вычислений приближенных значений функци:

(8)

Пример Вычислить приближенно приращение функции при изменении от значения 2 к значению 2,02.

Решение. Так как достаточно малых : ().

Найдем : . Вычислим . Итак, .

Определение. Производная, взятая от первой, называется производной второго порядка; производная, взятая от производной второго порядка, называется производной третьего порядка и т.д.:

;