Пример 2. Две концентрические проводящие сферы радиусами R1 =6 см и R2= = 10 см несут соответственно заряды q1 = 1 мКл и q2 = – 0,5 мКл (рис

Две концентрические проводящие сферы радиусами R ₁ =6 см и R ₂=
= 10 см несут соответственно заряды q ₁ = 1 мКл и q ₂ = – 0,5 мКл (рис. 2). Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r ₁ = 5 см, r ₂= 9 см, r ₃ = 15 см. Построить график Е (r).

Точки, в которых требуется найти напряженность электрического поля, лежат в трех областях: области I (r ₁ < R ₁), области II (R ₁ < r ₂ < R ₂), области III (r ₃ > R ₃).

1. Для определения напряженности Е ₁ в области I проведем гауссову поверхность S ₁ радиусом r ₁ и воспользуемся теоремой Остроградского – Гаусса

(так как суммарный заряд, находящийся внутри гауссовой поверхности, равен нулю).

Из соображений симметрии E_n = E ₁ = const. Следовательно
и Е ₁(напряженность поля в области I) во всех точках, удовлетворяющих условию r ₁ < R ₁, будет равна нулю.

2. В области II гауссову поверхность проведем радиусом r ₂. В этом случае , так как e = 1 для воздуха.

Или .

Обозначив напряженность Е для области II через Е _2, получим

,

где S ₂ = 4p r ₂² – площадь гауссовой поверхности.

Тогда ; .

3. В области III гауссова поверхность проводится радиусом r ₃. Обозначим напряженность Е области III через Е ₃ и учтем, что в этом случае гауссова поверхность охватывает обе сферы и, следовательно, суммарный заряд будет равен q ₁ + q ₂. Тогда .

Рис. 2

Учитывая, что q ₂ < q ₁, это выражение можно переписать в виде

;

Построим график E (r) (рис. 3). В области I (r ₁ < R ₁ ) E = 0. В области II (R ₁ £ r < R ₂) E ₂ (r) изменяется по закону 1/ r ². В точке r = R ₁ напряженность

В точке r = R ₂ (r стремится к R ₂ слева) E ₂ (R ₂ ) =
В области III (r > R ₂ ) E ₃ (r) изменяется по закону 1/ r ², причем в точке r = R ₂
(r стремится к R ₂ справа)

Таким образом, функция E (r) в точках r = R ₁ r = R ₂ терпит разрыв.

Рис. 3