2015-05-13
290
1. Индикаторная случайная величина.
Индикаторная случайная величина имеет вид:
а ее закон распределения:
| ||
| q | p |
где 
.
Найдем математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
.
.
| Окончательно, |  ,  .
|
2. Биномиальная случайная величина 
.
Множество возможных значений биномиальной СВ
,
а вероятности, с которыми значения принимаются, определяются по формуле Бернулли:
.
Найдем математическое ожидание случайной величины :
.
Для нахождения дисперсии случайной величины вычислим вначале 
:
.
Теперь для дисперсии случайной величины получаем выражение:
.
| Окончательно, |  ,  .
|
3. Геометрическая случайная величина 
.
Множество возможных значений геометрической случайной величины
,
а вероятности значений определяются по формуле:
.
Найдем математическое ожидание случайной величины :
.
Заметим, что ряд 
представляет собой результат дифференцирования по 
геометрической прогрессии 
. Поэтому
.
Для нахождения дисперсии СВ вычислим вначале .
.
Заметим теперь, что при нахождении математического ожидания было получено, что 
. Поэтому
.
Теперь для дисперсии случайной величины получаем выражение:
.
| Окончательно, |  ,  .
|
4. Пуассоновская случайная величина 
.
Множество возможных значений пуассоновской случайной величины
,
а вероятности, с которыми значения принимаются, задаются формулой:
.
Найдем математическое ожидание случайной величины :
.
Для нахождения дисперсии случайной величины вычислим вначале :
Теперь для дисперсии случайной величины получаем выражение:
.
| Окончательно, |  ,  .
|
5. Равномерная случайная величина 
.
Плотность вероятностей случайной величины , равномерно распределенной на отрезке 
, имеет вид:
Найдем математическое ожидание случайной величины :
.
Найдем далее :
.
Для дисперсии случайной величины получаем выражение:
.
| Окончательно, |  , 
|
6. Показательная (экспоненциальная) случайная величина 
.
Плотность вероятностей показательно распределенной случайной величины имеет вид:
Найдем математическое ожидание случайной величины :
.
Найдем далее :
.
Для дисперсии случайной величины получаем выражение:
.
| Окончательно, |  , 
|
7. Нормальная (гауссовская) случайная величина 
.
Плотность вероятностей нормально распределенной с параметрами 
случайной величины имеет вид:
.
Найдем математическое ожидание случайной величины :
Найдем дисперсию случайной величины (причем в данном случае удобнее пользоваться выражением для дисперсии 
):
.
| Окончательно, | , 
|
8. Случайная величина, имеющая распределение Коши.
Случайная величина , распределенная по закону Коши, имеет плотность вероятностей вида:
.
Найдем математическое ожидание этой случайной величины:
.
В связи с этим проверим выполнения условие существования математического ожидания, а именно абсолютную сходимость интеграла 
:
.
Поскольку интеграл абсолютно расходится, то у случайной величины, распределенной по закону Коши, математического ожидания не существует. А, следовательно, у данной случайной величины не существует дисперсии и других моментов более высоких порядков.
