2015-05-13
2722
Пусть 
- некоторая случайная величина, определенная на вероятностном пространстве 
, закон распределения которой известен (дискретный или непрерывный); 
- неслучайная функция; 
- функция от случайной величины .
Везде далее мы будем предполагать, что преобразующая функция 
удовлетворяет следующим условиям:
1. Область определения 
функции содержит множество 
возможных значений случайной величины : 
;
2. Функция является борелевской, то есть измеримой относительно борелевской 
-алгебры 
. Это означает, что для любого борелевского множества 
его образ 
.
Первое условие обеспечивает корректность функционального преобразования . Второе условие гарантирует, что функция от случайной величины также будет случайной величиной. Действительно, если функция является борелевской, то по определению случайной величины для любого борелевского множества множество 
, поскольку полный прообраз 
).
Замечание. Класс борелевских функций на числовой прямой очень широк и покрывает все потребности практики (в частности, ему принадлежат все ограниченные кусочно-непрерывные функции). Поэтому требование того, что функция должна быть борелевской, для приложений ограничительным не является.
Задача состоит в нахождении математического ожидания 
. Существует два способа решения этой задачи:
а) По закону распределения случайной величины находится закон распределения случайной величины и используются стандартные формулы (2.7) и (2.8);
б) Математическое ожидание находится с помощью основной теоремы о математическом ожидании.
Теорема (основная теорема о математическом ожидании или теорема о замене переменных).
Пусть - некоторая случайная величина, закон распределения которой известен, случайная величина является функцией от случайной величины .
1. Если случайная величина является дискретной, принимающей значения 
с вероятностями 
, 
, и при этом ряд 
абсолютно сходится (
), то у случайной величины существует математическое ожидание и
.
2. Если случайная величина является непрерывной с плотностью вероятностей 
и интеграл 
абсолютно сходится (
), то у случайной величины существует математическое ожидание и
.
(без доказательства).
Смысл основной теоремы о математическом ожидании: Для нахождения математического ожидания случайной величины , являющейся функцией от случайной величины , не требуется знать закон распределения случайной величины 
, достаточно лишь знать закон распределения случайной величины .
