Экономический смысл теории двойственности

Рассмотрим экономический смысл теории двойственности на примере задачи оптимального планирования выпуска продукции и использования ресурсов. Объединение может выпускать несколько видов продукции (i=1, 2,..., n). Каждая продукция требует затрат определенных ресурсов (трудовых, материальных). Количество ресурсов каждого вида (j=1, 2,..., m) ограничено и составляет b_j.

Пусть с_i - прибыль от реализации соответствующего вида продукции. Определим, какое количество продукции каждого вида целесообразно произвести, чтобы получить максимальную прибыль, с учетом имеющегося количества ресурсов.

За управляемые переменные примем объем выпуска каждого вида продукции x_i. Тогда целевая функция примет вид:

(3.3).

Ограничением при решении задачи выступает имеющееся количество ресурсов. Если а_ij - расход ресурсов j-го типа на выпуск i-й продукции, то ограничения можно записать следующим образом:

(3.4).

Данная задача является исходной и позволяет найти оптимальный план выпуска продукции.

Предположим, что предприятие может дополнительно приобретать ресурсы (т.е. за счет каких-либо мероприятий увеличивать их количество). Примем относительную плату за ресурс j как p_j. Тогда общие «затраты» на ресурсы составят:

(3.5)

Естественно, что эти «затраты» необходимо минимизировать. Относительные уплаты на ресурсы должны быть выбраны таким образом, чтобы прибыль от выпуска единицы каждого вида продукции не уменьшалась:

(3.6)

Получаем новую модель линейной задачи, являющуюся двойственной по отношению к первой.

Таким образом, исходной задаче оптимального использования ресурсов (оптимального плана выпуска продукции) соответствует двойственная задача обоснования оптимальных затрат (цен) на используемые ресурсы. При этом следует подчеркнуть, что оценка ресурсов имеет относительный характер, то есть с точки зрения прибыльности получаемой объединением продукции. Эти оценки называются неявными, теневыми ценами. Оптимальному плану выпуска продукции соответствует система минимальных оценок ресурсов, причем прибыль, получаемая при составлении оптимального плана, равна суммарной оценке ресурсов. Следовательно, оценки ресурсов, получаемые при решении двойственной задачи, являются экономическим инструментом, обеспечивающим выполнение оптимального плана. Если ресурсы используются не полностью, то их оценка равна нулю, т.е. нет смысла приобретать ресурсы и платить за них средства. Таким образом, оценка ресурсов в оптимальном плане характеризует меру их дефицитности или степень их важности.