Расчет параметров нелинейного регрессионного уравнения

i	x_i	y_i	z_i	z_i ²	z_iy_i
			0,10000	0,010000	3,20000
			0,08333	0,006944	2,33333
			0,06667	0,004444	1,46667
			0,05660	0,002500	1,00000
			0,04000	0,001600	0,64000
			0,03704	0,001372	0,55556
			0,03333	0,001111	0,33333
Σ			0,41037	0,027972	9,52890

Отсюда , . Для вычисления оценок параметров воспользуемся формулами (1.5):

;

Если же оценивать параметры с помощью функции ЛИНЕЙН (Microsoft Excel), т.е. практически с неограниченной степенью точности, то получим следующие результаты: и

Таким образом, искомое регрессионное уравнение имеет вид: или .

Полиномиальная модель (1.15) может быть преобразована к линейной модели введением переменных z ₁= x, z ₂= x ², …, z_k = x^k. В результате получается так называемая линейная модель множественной регрессии (переменная y зависит от нескольких переменных z_j). В следующей главе будут рассмотрены вопросы определения параметров такого уравнения и показателей его качества.

Второй класс. Модели, нелинейные по параметрам, но сводящиеся к модели, линейной по параметрам, с помощью некоторого математического преобразования.

Примерами таких моделей могут служить показательная (экспоненциальная) и степенная регрессионные модели, в которые случайная компонента ε входит в качестве сомножителя (или, как говорят, мультипликативным образом):

, (1.17)

(1.18)

Обе модели сводятся к модели, линейной по параметрам, путем логарифмирования. Покажем это на примере показательной модели (1.17). Имеем:

Используя свойства логарифма, выполним преобразования:

Полученная модель уже является линейной по параметрам. Вводя новые переменные и обозначения: u =ln(у), ε ^*=ln(ε), a ₁^*=ln(a ₁), a ₀^*=ln(a ₀), получим

(1.19)

Рассчитав значения переменной u по заданным наблюдениям y_i переменной у, можно оценить параметры уравнения (1.19) с помощью известных методов. По найденным оценкам легко определить и параметры исходного нелинейного уравнения (1.17).

Важно отметить, что применение МНК для оценки параметров уравнения (1.19) предполагает выполнение требований классической линейной модели (см. параграф 1.2). Проверка статистической значимости параметров и регрессии в целом на основе t- и F -статистик имеет смысл только в том случае, если компонента , т.е ln(ε), распределена нормально.

Третий класс. Собственно нелинейные модели, т.е. модели, которые нельзя свести к модели, линейной по параметрам.

Например, это – та же показательная модель, но в которую случайная компонента ε входит аддитивным образом, т.е. в качестве слагаемого:

(1.20)

Для оценивания параметров таких моделей используется так называемый нелинейный метод наименьших квадратов, основанный на непосредственном решении задачи оптимизации