Выводы по построенной регрессии и прогнозирование

Полученное в результате применения МНК статистически качественное уравнение регрессии может быть использовано для ряда выводов о взаимосвязи между переменными.

Итак, пусть построено уравнение регрессии вида:

. (1.21)

Одной из важнейших итоговых характеристик эконометрического анализа является коэффициент эластичности Е_ху. Он приблизительно показывает, на сколько процентов изменяется значение результирующей переменной у при увеличении объясняющей переменной х на один процент. Коэффициент эластичности для заданного значения х может быть определен по формуле:

(1.22)

Если речь идет об изменении переменных х и у относительно своих средних значений и , то рассматривают соответственно средний коэффициент эластичности, определяемый формулой:

.

Пример 1.5. Эмпирическое уравнение регрессии имеет вид:

.

Определить коэффициент эластичности переменной у по переменной х при х =0,4.

Здесь . Найдем производную данного выражения:

.

Рассчитаем значения и для х =0,4:

, .

Подставим полученные выражения в формулу (1.22). Получим:

Естественно, оцененное уравнение парной регрессии может быть использовано для непосредственного прогнозирования переменной у по известному значению х, т.е. если х=х_р - заданное значение х, то - точечная прогнозная оценка результирующего признака у (или предсказанное среднее значение у).

Поскольку оценки параметров уравнения регрессии содержат некоторую ошибку, а в самой модели присутствует случайная компонента e, точечный прогноз также будет содержать некоторую погрешность. Ответ на вопрос, как сильно может уклониться прогнозное среднее значение от реального возможного значения у_р, дается на основе интервальных оценок, построенных с заданной надежностью (1- a), где a, как и прежде, - уровень значимости. Соответствующий доверительный интервал прогноза

устанавливает границы, в пределах которых находится возможное значение у_р с вероятностью (1- a). Соответственно за пределами этих границ могут оказаться не более 100 a % точек наблюдений результирующего показателя при заданном значении х=х_р.

Как и в случае доверительных интервалов параметров регрессии здесь имеют место те же общие закономерности, а именно величина доверительного интервала:

- с увеличением числа наблюдений уменьшается;

- с приближением уровня значимости a к нулю увеличивается;

- с увеличением стандартной ошибки регрессии увеличивается.

Конкретный вид доверительного интервала зависит как от типа регрессионной модели, так и от свойств случайной компоненты e. Для классической парной линейной регрессии он выглядит следующим образом:

,

где t_табл = t (a; n -2)– критическая точка распределения Стьюдента для заданного уровня значимости с числом степеней свободы k = n -2; – стандартная ошибка прогноза, которая рассчитывается по формуле:

(1.23)

Из формулы (1.23) следует, что чем больше остаточная дисперсия (т.е. чем дальше лежат известные значения y от линии регрессии), тем больше доверительный интервал. Своего минимального значения ширина доверительного интервала достигает при . Чем дальше лежит значение x_p для которого делается прогноз от среднего значения, тем шире становится доверительный интервал, т.е. прогноз становится менее точным. Примерный вид доверительных интервалов прогноза по линейному уравнению регрессии представлен на рис.1.2.

Разумеется, окончательный вывод по построенной модели должен касаться содержания исследуемой зависимости между конкретными экономическими показателями. Здесь, по-видимому, следует ответить на вопросы:

была ли установлена существенная взаимосвязь между показателями и насколько она сильна;

если – да, то какой вид она имеет (линейный, степенной, экспоненциальный, гиперболический и т.д.); можно также подумать, почему именно такой вид взаимосвязи имеет место;

если связь оказалась несущественной, то попытаться предположить, почему это произошло; заключения по коэффициентам эластичности и прогнозирование в этом случае теряют смысл;

только когда регрессия является статистически значимой, делаются выводы по предполагаемым значениям результирующего признака в зависимости от тех или иных значений объясняющего признака.