И классическом методе их анализа

Различают два режима работы цепи: установившийся (ста­ционарный) и неустановившийся (переходный, нестационарный). Установившимся называют такой режим, при котором токи, нанапряжения и э. д. с. в цепи являются или постоян­ными, или периодическими функциями времени. В предыдущих разделах рассматривался только этот режим.

Неустановившимся режимом или переходным процессом в электрической цепи называют элек­тромагнитный процесс, возникающий в цепи при переходе от одного установившегося режима к другому. Этот процесс возникает в электрических цепях при подключении к ним или отключении от них источников электрической энергии, а также при скачкообразном изменении схемы цепи или параметров входящих в нее элементов.

Указанные выше операции в цепях называют коммутацией. На схемах цепей коммутацию обычно обозначают в виде ключа со стрелкой (рис. 13.1,а — замыкание, рис. 13.1,6 — размыкание). Считают, что коммутация происходит в течение бесконечно ма­лого промежутка времени, т. е. мгновенно. Момент коммутации обычно принимают за начало отсчета времени, т. е. считают, что в момент коммутации t=0. При этом момент времени, предше­ствующий непосредственно моменту коммутации, обозначают t=0-, а момент времени, следующий непосредственно за момен­том коммутации, обозначают t=0+.

В цепях, не содержащих энергоемких элементов (индуктивностей и емкостей), новый установившийся режим, т. е. режим, при котором токи и напряжения являются либо постоянными, либо периодическими функциями времени, наступает непосредственно

за моментом коммутации. Поэтому можно считать, что в таких цепях переходные процессы отсутствуют.

В цепях с энергоемкими элементами переходные процессы продолжаются некоторое время, так как энергии электрических полей конденсаторов и магнитных полей индуктив­ных катушек вследствие закона непрерывности энер­гии во времени не могут изменяться скачком.

При анализе переходных процессов в электрических цепях классическим методом составляется система уравнений для мгно­венных значений токов и напряжений. Эти уравнения составляются.непосредственно по законам Кирхгофа или с помощью других ме­тодов расчета цепей, например метода контурных токов или метода узловых потенциалов. При этом используются соотноше­ния между токами и напряжениями в элементах цепи:

В полученной таким образом системе уравнений выбирается основная переменная и исключением других переменных из си­стемы уравнений получают одно уравнение, содержащее только основную переменную. В общем случае для линейных электриче­ских цепей с сосредоточенными параметрами, содержащих эле­менты r, L и С, это уравнение является интегро-дифференциальным. Путем повторного дифференцирования этого уравнения можно получить линейное неоднородное дифференциальное урав­нение с постоянными коэффициентами, имеющее в общем слу­чае вид

где a_k и b_k — постоянные коэффициенты, зависящие от схемы цепи и параметров ее элементов;

x(t) —выходная величина (ток или напряжение);

ƒ(t)—внешнее воздействие на цепь (источник э.д. с. или

тока).

Порядок высшей производной дифференциального уравнения определяет порядок цепи. Так, например, если этот порядок бу­дет первым, то и цепь называют цепью первого порядка и τ, д. Решение уравнения (13.2) ищется в виде

. (-3.3)

где — свободная составляющая — общее решение однород­ного дифференциального уравнения

т. е. уравнения (13.2) без правой части;

—принужденная составляющая — частное решение уравнения (13.2) с правой частью.

Свободная составляющая — это свободные электриче­ские токи или напряжения. Они характеризуют процесс рассеива­ния или накапливания энергии энергоемкими элементами L и С и равны разности переходных и установившихся токов или напря­жений.

Принужденная составляющая характеризует процесс, возникающий в цепи под воздействием внешнего возмущения после окончания переходных процессов. Это установившиеся, т. е. постоянные или периодические, токи и напряжения, которые уста­навливаются в электрической цепи после окончания переходных процессов при воздействии на цепь постоянных или периодических э. д. с. или токов.

Решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

где р_k — корни характеристического уравнения

A_k — постоянные интегрирования.

Корни характеристических уравнений p_k у пассивных электри­ческих цепей всегда либо вещественные отрицательные, либо комплексные с отрицательной вещественной частью. Физически это объясняется тем, что свободный процесс происходит за счет энергии, накопленной в элементах L или С. С течением времени эта энергия расходуется на необратимые потери (выделяется в виде тепла в активных сопротивлениях), а величина

Постоянные интегрирования A_k определяют из начальных условий — значений токов и напряжений в цепи в момент времени t =0+. т. е. в момент времени, следующий непосредственно за мо­ментом коммутации.

Для определения начальных условий используют два закона коммутации:

4 и , (13.7)

т. е. ток в индуктивности непосредственно после коммутации равен току в этой же индуктивности непосредственно пе­ред коммутацией , а напряжение на емкости непосред-

ственно после коммутации равно напряжению на этой же емкости непосредственно перед коммутацией .

Невозможность скачков токов в индуктивностях L и напряже­ний на емкостях С при коммутации следует из закона непрерыв­ности энергии, который утверждает, что энергия во времени не может изменяться скачком.

Начальные условия в электрических цепях могут быть нуле­выми или ненулевыми. Нулевые начальные условия будут в том случае, если в момент коммутации и . При этом в момент времени, следующий непосредственно за моментом ком­мутации, ток в индуктивности L и напряжение на емкости С будут продолжать оставаться равными нулю, т. е. в момент коммутации индуктивность L равносильна разрыву цепи, а емкость С эквива­лентна короткому замыканию.

Если в момент коммутации по индуктивности L протекал ток , а на емкости С было напряжение , то в цепи имеют ме­сто ненулевые начальные условия.

Следует отметить, что напряжение на индуктивности L и ток через емкость С в момент коммутации могут изменяться скачком, так как они не характеризуют энергию, запасенную в элемен­тах L и С.

В последующих подразделах рассмотрим примеры анализа пе­реходных процессов в электрических цепях, имеющие как само­стоятельное значение, так и иллюстрирующие сущность классиче­ского метода.