Пример 12.4 контур

Построить сигнальный граф цепи, в которой входным сигналом является э. д. с. Е, выходным — ток I_в (рис. 12.11). Решение.

1. Составляе м систему уравнений цепи методом узловых напряжений и пе­реписываем ее в форме «причина — следствие»:

2, При постр о ении сигнального графа зависимым переменным Ù ₁, Ù ₂ и Ù₃ приводим в соответствие промежуточные узлы, входному сигналу J=g₁E —исток, выходному — сток I₆=g₆U₃. Узлы соединяем ветвями в соответствии с уравне­ниями цени и принятыми обозначениями. Поэтапное построение графа показано на рис. 12.12.

Систему уравнений цепи можно составить пoразному (мето­дом контурных токов, узловых напряжений и т. д.). В зависимо­сти от этого данной цепи соответствуют несколько отличающихся друг от друга сигнальных графов.

Узлы сигнального графа разделяют на три группы: истоки, стоки и промежуточные узлы. Истоки представляют входные сиг­налы и связаны лишь с исходящими ветвями, например узлы и (рис. 12.13). Стоки представляют выходные сигналы и свя­заны лишь с входящими ветвями, например узлы и (см. рис. 12.13). Все остальные узлы с входящими и исходящими вет­вями называют промежуточными. Узловой сигнал равен сумме сигналов, приходящих к узлу (рис. 12.14,а), и передается по всем ветвям, исходящим из него (рис. 12.14,6). Обычно на графе вы­ходные сигналы для удобства выделяются в отдельные узлы че­рез ветви с единичной передачей, образуя стоки.

Важными элементами сигнального графа являются путь и контур:

путь — это непрерывная последовательность однонаправленных ветвей, проходящих через каждый узел не более одного раза;

прямой путь — этопуть, связывающий исток и сток;

контур представляет любой замкнутый путь;

петля — это контур, содержащий только один узел.

Контуры или контур и путь называются несоприкасающимися, если они не имеют общих узлов.

Все контуры ипути характеризуются передачей. Передача кон­тура, так же как и передача пути, — это произведение передач вет­вей, из которых они состоят.

Передача сигнального графа — это отношение выходного сиг­нала к входному. Если сигнальный граф содержит несколько истоков и несколько стоков, то он характеризуется и несколькими передачами: от каждого из истоков к каждому из стоков. Опреде­ление передачи графа является основной задачей; решаемой при расчете цепи методом сигнальных графов.

Передачу графа можно найти двумя способами: последова­тельным упрощением его структуры и с помощью топологической формулы (формулы Мэзона). Первый способ заключается в по­следовательном исключении промежуточных узлов с помощью правил упрощения графа. При этом граф приводится к простей­шему виду. Этот способ соответствует алгебраическому методу решения системы уравнений путем последовательного исключения неизвестных. Второй способ сводится к непосредственному приме­нению топологической формулы для передачи графа. Решение графа по этой формуле соответствует решению системы алгебраи­ческих уравнений, основанному на прямом разложении ее опреде­лителя.

Правила упрощения графа несложны; вих справедливости легко убедиться. Рассмотрим некоторые из них.

1. Передача последовательно соединенных ветвей равна про­изведению передач этих ветвей (рис. 12.15,а). Действительно,

, т. е. . (12.22)

2. Передача двух параллельно соединенных однонаправленных ветвей равна сумме передач этих ветвей (рис. 12.15,6). Действи­тельно,

. (12.23)

3. Устранение простой узловой точки (рис. 12.16,а). Простой узловой точкой называется промежуточный узел графа, не связан­ный с петлей.

Так как , то

. (12.24)

4. Устранение контура на пути (рис. 12.16,6):

,

т. е.

. (12.25)

5. Исключение петли, связанной с узлом, от которого отходит и к которому подходит одна ветвь (рис. 12.17,а):

Отсюда

(12.26)

6. Исключение петли, связанной с узлом, от которого отходят и к которому подходят несколько ветвей (рис. 12.17,6):

. (12.27)