Реакция цепи на единичную ступенчатую функцию представляет не что иное, как переходную временную характеристику системы. Поэтому реакцию цепи в данном случае удобно найти с помощью формулы (14.20) как интеграл от импульсной характеристики (17.17):
Полученный интеграл можно выразить через табулированный интегральный синус (рис. 17.8,а):
для которого характерно соотношение
Учитывая это, из уравнения (17.19) находим
Реакция цепи имеет вид графика смещенного интегрального синуса (рис. 17.8,6). Характерным для нее является значение крутизны фронта (скорости нарастания) при t=t0. Как следует из выражения (17.19), эта величина равна
В то же время, обращаясь к рис. 17.8,6, ее можно выразить как
где tФ — длительность фронта.
Приравнивая правые части этих выражений, получим
(17.25)
Это позволяет сделать вывод: чем уже полоса пропускания системы, тем медленнее нарастает сигнал на выходе. Характерно, что произведение
. (17.26)
Из графика (см. рис. 17.8,6) также следует, что сигнал на выходе запаздывает на время t0, определяемое наклоном ФЧХ цепи, а отсечение высокочастотной части спектра приводит к тому, что выходной сигнал в отличие от входного имеет конечную длительность фронта . По мере расширения полосы пропускания иска-
|
|
жения уменьшаются: при длительность фронта и в пределе приходим к 1(t) -функции, действующей на входе.
Рассмотренные примеры прохождения 1 (t) и δ(t)-функций через систему с ограниченной полосой пропускания позволяют сделать важные выводы о соотношениях между длительностью им-
пульса, длительностью его фронта и шириной полосы пропускания, требуемой для его прохождения через систему:
|
длительность фронта X требуемая ширина полосы пропускания = const;
длительность импульса X требуемая ширина полосы пропускания = const.
Ширина полосы пропускания системы, требуемая для неискаженной передачи импульса, обратно пропорциональна его длительности и длительности его фронта. Отсюда следует, в частности, важный для радиолокации и техники связи вывод: передача и прием информации импульсами малой длительности требуют увеличения полосы пропускания радиоканала. По.с расширением полосы пропускания растет влияние помех. Это требует при выборе оптимальных параметров системы учета влияния обоих факторов.
Пример 17.5.
Рассчитать изменения фронтов прямоугольного видеоимпульса с длительностью tи при его прохождении через идеальную систему с полосой пропускания, ограниченной частотой среза ωc.
Решение.
Любой прямоугольный видеоимпульс (рис. 17.9, α) можно представить наложением двух ступенчатых функций, сдвинутых одн а относительно другой навремя, равное его длительности tи.
|
|
Учитывая выражение (17.22), сигнал на выходе такой системы (рис. 17.9,6) найдем в соответствии с принципом наложения:
Длительность его фронта t··, определяется формулой (17.25) и зависит от того, какая часть спектра входного сигнала проходит через систему. При полосе пропускания, соответствующей ширине главной арки ег о спектра, т. е. при , длительность фронтов составит
Если же она соответствует ширине k арок спектра, т. е. ,
тo
Пример 17.6.
Рассчитать в общем виде прохождение прямоугольного радиоимпульса через идеальный полосовой фильтр (ПФ) с полосой пропускания, ограниченной частотами .
Решение.
Известно, что при воздействии прямоугольного видеоимпульса fBX1<0 на идеальный фильтр нижних частот (ФНЧ) с частотой среза ωс (см. рис. 17.6) сигнал на выходе fBЫX1(t) определяется формулой (17.27). Его спектральная плотность
где K1(jω) — комплексный коэффициент передачи идеального ФНЧ;
SBX1(t)—спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса.
В соответствии с теоремой о модуляции (табл. 16.1), если
что представляет произведение комплексного коэффициента передачи K(jω) идеального ПФ, образованного смещением по оси частот коэффициента передачи К1(jω) идеального ФНЧ в обе стороны от начала координат на величину ±ωH, на спектральную плотность пря м оугольного радиоимпульса, образованную аналогичным смешением по частоте спектральной плотности прямоугольного видеоимпульса, умноженной на 1/2 (рис. 17.10). В уравнении (17.29) учтено, что
Отсюда следует, что выражения (17.28) и (17.29) описывают реакцию идеального ПФ на воздействие прямоугольного радиоимпульса:
Таким образом, огибающая сигнала на выходе ПФ при воздействии прямоугольного радиоимпульса (рис. 17.11) о пределяется о гибающей сигнала на выходе ФНЧ при воздействии на е г о вход прямоугольного видеоимпульса. Этот вывод м ожно распространить и на случай дру г их радиоимпульсов, сформулировав теорему об огибающей,