Реакцию цепи на произвольное воздействие можно рассчитать с помощью как ее частотных, так и временных характеристик. В первом случае используют интеграл Фурье, во втором — интеграл свертки. Частотные и временные характеристики соответствуют различным способам представления свойств цепи: частотному (спектральному) и временному. Оба вида характеристик зависят только от конфигурации, состава и параметров элементов цепи и имеют непосредственную связь между собой.
Как известно, импульсная временная характеристика a(t) численно равна реакции цепи на воздействие дельта-функции. Если К(jω) —комплексная функция цепи, то с помощью обратного преобразования Фурье (16.4), учитывая уравнение (16.32), находим
С другой стороны,
Таким образом, комплексная функция цепи равна спектральной плотности ее импульсной временной характеристики, в то время как импульсная характеристика является обратным преобразованием Фурье (оригиналом) ее комплексной функции. Интегрирование в выражении (17.41) осуществляется в пределах от 0 до + , так как a(t)=0 при t<0.
Представляя комплексную функцию цепи через ее вещественную R(ω) и мнимую Х(ω) части и разлагая еjωt по формуле Эйлера, из уравнения (17.40) получим
так как в силу четности функции R(ω) и нечетности X(ω) произведения R(ω) sin ωt и X( ω ) cos ωtявляются нечетными функциями частоты и
Выражение (17.42) справедливо для всех значений времени t. Заменив в нем t на — t и учитывая, что a(t)=0 при t<0, находим
Складывая равенства (17.42) и (17.43), получаем
Отсюда, учитывая связь между временными характеристиками цепи, находим переходную временную характеристику
Полученные соотношения (17.44) и (17.45) позволяют по вещественной частотной характеристике цепи однозначно определить ее временные характеристики.
Вещественную частотную характеристику цепи R(ω) можно рассчитать или определить экспериментально, определяя порознь амплитудно-частотную K(ω) и фазо-частотную φ(ω) характеристики, так как R(ω)= К( ω )cosφ(ω). Если R(ω) задана графически, то временную характеристику цепи можно определить с помощью уравнения (17.45). Существует несколько методов определения временной характеристики цепи с помощью этого выражения, основанных на разных способах аппроксимации ее вещественной частотной характеристики. Наиболее известен метод трапёцеидаль-
ных характеристик В. В. Солодовникова, в основе которого лежит замена кривой К(ω) суммой трапецеидальных характеристик.
Частотные и временные характеристики цепи взаимосвязаны. Изменение частотных характеристик всегда влечет за собой изменение временных характеристик, и наоборот. В качестве примера рассмотрим пропорциональное сжатие частотных характеристик по частоте. Этому соответствует изменение масштаба частоты. Подставив в выражение (17.40) K(jαω) вместо K(jω), получим
Заменив в этом выражении αω на Ω и возвращаясь вновь к переменной ω, найдем
Сравнивая полученное выражение с (17.40), отмечаем, что
т. е. сжатию частотных характеристик по оси частот соответствует растяжение во столько же раз временной характеристики вдоль оси времени, и наоборот. Это вполне согласуется с выводом о связи между реакцией цепи и шириной ее полосы пропускания: чем уже полоса пропускания, тем медленнее протекают процессы.