Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

Рассмотрим последовательный контур, содержащий элементы r, L и С, на который воздействует э. д. с. e(t) при ненулевых на­чальных условиях (рис. 18.1).

На основании второго закона Кирхгофа для мгновенных значе­ний для рассматриваемой цепи можно записать следующее интегро-дифференциальное уравнение:

Нижний предел у интеграла, стоящего в левой части этого уравнения, равный — , взят для того, чтобы учесть, что до мо­мента подключения к цепи источника э.д.с. e(t) конденсатор был заряжен. Этот интеграл можно представить в виде

где U _C(0) —начальное напряжение на емкости.

С учетом этого уравнение для рассматриваемой цепи будет иметь вид

Рассматривая заданную э. д. с. e(t) и искомый ток i(t) в качестве оригиналов, положим, что им соответствуют изображения Е(р) и I (p), т. е.

и .

Так как Uc(0) —величина постоянная, то

На основании свойства линейности преобразования Лапласа и теорем дифференцирования и интегрирования уравнению (18.16) соответствует следующее операторное уравнение для изображе­ний:

Это уравнение является выражением второго закона Кирхгофа в операторной форме для рассматриваемой цепи при ненулевых начальных условиях. Его можно представить в виде

или

где - приведенная операторная э.д. с.;

-операторное сопротивление.

Приведенная операторная э.д.с. е(р) учитывает ненулевые на­чальные условия в цепи: токи в индуктивностях и напряжения на емкостях в момент коммутации. Направление дополнительного источника э.д.с. Li (0) совпадает с направлением начального тока i(0), а направление источника э.д.с. U_C ( 0)/p определяется полярностью начального напряжения U_С(0) (от минуса к плюсу). Введение понятия приведенной операторной э.д. с. позволяет при­вести задачу с ненулевыми начальными условиями к задаче с ну­левыми начальными условиями. При нулевых начальных условиях ε(р)=Е(р).

Операторное сопротивление Z(p) можно определить как отно­шение изображения напряжения к изображению тока при нулевых начальных условиях. Операторные сопротивления элементов r, L и С соответственно равны r, pL и 1 /рС.

Величину Υ(ρ), обратную операторному сопротивлению Z(p), называют операторной проводимостью:

Y(p)= l /Z(p).

Операторное сопротивление Z(p) и операторная проводимость Υ(p) формально отличаются от комплексного сопротивления Z(jω) и комплексной проводимости Υ (jω) только тем, что в них место jω занимает оператор р, т. е.

и .

Из уравнения (18.18) следует, что

I(p) = ε(p)/Z(p). (18.19)

Это соотношение выражает закон Ома в операторной форме.

Применив преобразование Лапласа к выражению для первого закона Кирхгофа для мгновенных значений токов в любом узле электрической цепи:

получим выражение этого закона в операторной форме:

Аналогичным образом из выражения второго закона Кирхгофа для любого контура электрической цепи

получим выражение этого закона в операторной форме:

где U_k(р) = Z_k (p)I_k(р) - L_ki_k ()) + U_Ck())/p.

Выражение (18.21) можно представить в виде

где ε_k (р) = E_k (р) + L_ki_k (0) - U _ck (0)/p.

Уравнению для изображений (18.17), полученному для схемы электрической цепи, приведенной на рис. 18.1, можно поставить в соответствие схему, приведенную на рис. 18.2.

Такую схему называют эквивалентной операторной схемой или схемой изображений. Она может быть получена из основной схемы, если индуктивности L и емкости С заменить операторными сопротивлениями pL и 1/ рС, токи i(t) и внешние э.д. с. e(t) заме-

Нить их изображениями, а ненулевые начальные условия, соответ­ствующие моменту времени t = 0+, т. е. моменту времени, следую­щему непосредственно за моментом коммутации, учесть введением в схему дополнительных источников э.д. с. Li (0) и U_c(0)/p,

Для эквивалентных операторных схем выражения законов Ома и Кирхгофа в операторной форме совпадают с выражениями этих законов в комплексной форме. Поэтому для отыскания изображе­ний токов и напряжений в эквивалентных операторных схемах применимы все методы расчета цепей синусоидального тока в символической форме.

Переход от полученных изображений токов и напряжений к их оригиналам можно произвести как непосредственно по обратному преобразованию Лапласа (18. 2), так и с помощью ряда методов, облегчающих, решение этой задачи. Такими методами являются табличный метод, предполагающий использование таблиц опера­торных соответствий, методы, основанные на применении теорем операционного исчисления, и ряд других методов.

Порядок расчета электрических цепей операторным методом с помощью эквивалентных операторных схем рассмотрим на кон­кретных примерах.