Характеристиками

Операторной передаточной функцией линейной электрической цепи К(р) называют отношение изображения выходной величины X(ρ) к изображению входной величины F(p) при нулевых началь­ных условиях:

к(р)=X(ρ)/F(ρ). (18.23)

По аналогии с комплексными передаточными функциями опе­раторными передаточными функциями цепи, рассматриваемой как четырехполюсник (рис. 18.7), являются: передаточная функция по напряжению К_U(р) = U₂(p)/U ₁ (p), п o току K _I (p) =I₂(P)/I₁(P), опе­раторное передаточное сопротивление Z₂₁(p) = U₂(p)/I ₁ (p) и опе­раторная передаточная проводимость Y₂₁ (р) =I₂ (p/U ₁ (р).

Операторными передаточными функциями цепи, рассматривае­мой как двухполюсник ( рис. 18.8), являются операторное входное сопротивление Z(p) = U (p)/I(p) и операторная входная проводи­мость Y(p)=I(p)/U(p) = 1 /Z(p).

Операторные передаточные функции электрической цепи К(р), так же как и ее комплексные передаточные функции К(jω) и вре­менные характеристики h(t) и a(t), не зависят от внешних воздей­ствий на цепь. Они определяются только схемой цепи и парамет­рами входящих в нее элементов, т. е. характеризуют собственно цепь, и связаны между собой. Найдем эти связи.

Из сравнения выражений для прямых преобразований Лапласа (18.1) и Фурье (16.3) непосредственно следует, что

, (18.24)

т. е. операторная передаточная функция цепи К(р) получается из ее комплексной передаточной функции K(jω) путем замены у K(jω) переменной jω оператором р. Поэтому для расчета К(р) по из­вестной схеме цепи можно применить все методы расчета K(jω). Связь между операторной передаточной функцией К(р) и вре­менными характеристиками цепи h(t) и a(t) можно установить

непосредственно из определения этих характеристик и из связи изображений выходной величины X(ρ) и входной величины F(p), следующей из уравнения (18.23):

X(p) = F(p)K(p). (18.25)

Если на вход линейной электрической цепи при нулевых на­чальных условиях подать воздействие в виде единичной функции включения l(t), то реакция на выходе цепи будет ее переходной характеристикой h(t), т. е. если ƒ(t) = l(t), то x(t)=h(t). Так как изображение единичной функции включения 1 (t) = Ì/p, то, учитывая выражение (18.25), получим

h(t) K(p)/p, (18.26)

т. е. изображение переходной характеристики цепи равно ее операторной передаточной функ­ции, деленной на оператор р.

Если на вход линейной электрической цепи при нулевых на­чальных условиях подать воздействие в виде дельта-функции δ(t), то реакция на выходе цепи будет ее импульсной характеристи­кой α(t), т. е. если ƒ(t)=δ(t), то x(t)=a(t). Так как изображе­ние дельта-функции δ(t) 1, то, учитывая выражение (18.25), получим

a(t) K(p), (18.27)

т. е. изображением импульсной характеристики цепи является ее операторная передаточная функция или оригиналом операторной передаточной функции цепи является ее импульсная характери­стика.

Полученные соотношения позволяют найти переходную h(t) и импульсную a(t) характеристики цепи по ее операторной пере­даточной функции.

Пример 18.3.

Найти операторную передаточную функцию, переходную h(t) и импульс­ную a(t) характеристики цени (рис. 18.9) по напряжению.

Решение.

Операторная передаточная функция по напряжению для рассматриваемой цепи

,

где .

Изображение переходной характеристики

.

Используя таблицу операторных соответствий, получим

.

Изображение импульсной характеристики

Используя таблицу операторных соответствий, получим

Соотношения.(18.26) и (18.27) позволяют также найти выра­жение для операторной передаточной функции цепи К(р) по ее заданным переходной h(t) или импульсной a (t) характеристикам, что используется при решении задач синтеза электрической цепи.

Пример 18.4.

Найти операторную передаточную функцию, схему и параметры цени, если ее переходная характеристика

Решение.

По таблице операторных соответствий находим изображение переходной характеристики цепи:

.

откуда .

Такую операторную передаточную функцию имеет электрическая цепь, рас­смотренная в примере 18.3. Однако такую же операторную передаточную функ­цию могут иметь и другие цепи, например цепь, приведенная н а рис. 18.10, в которой =L/r.

Из рассмотренного примера видно, что решение задачи син­теза электрической цепи является неоднозначным, так как одни и те же операторные передаточные функции могут иметь различ­ные электрические цепи.