Функций электрических цепей. Операторными входными функциями электрической цепи, рас­сматриваемой как двухполюсник (см

Операторными входными функциями электрической цепи, рас­сматриваемой как двухполюсник (см. рис. 18.8), являются опера­торное сопротивление Z(p)=U(ρ)/I(ρ) и операторная проводимость Y(p) = I(p)/U(p) = l /Z(p).

Эти функции можно рассматривать как передаточные функции цепи для случая, когда реакция цепи находится для той же пары зажимов, к которой подведено воздействие. Поэтому они, так же как и передаточные функции электрических цепей, являются ра­циональными функциями оператора р с вещественными коэффи-

циентами, т. е. представляют собой отношение двух полиномов, все коэффициенты которых вещественны (18.32):

При подстановке в это выражение вещественных значений ρ = α Z(p) будет вещественным.

Таким образом, первым свойством операторных входных функ­ций Z(p) и Υ(ρ) пассивных электрических цепей с сосредоточен­ными параметрами является то, что они являются вещественными функциями при вещественном значении р.

Вторым свойством Z(p) и Υ(ρ) является то, что при p=jω, т. е. при изменении р вдоль мнимой оси, вещественная часть лю­бой из этих функций не может принимать отрицательных значе­ний. В противном случае средняя мощность

потребляемая двухполюсником в режиме гармонических колеба­ний была бы отрицательной, что противоречит условию пассив­ности двухполюсника. Следовательно,

Re{Z(jω)} 0 и Re{Y(jω)} 0.

В отличие от операторных передаточных функций, у которых характеристическими полиномами (полиномами Гурвица) явля­ются только полиномы их знаменателей, у операторных входных функций линейных пассивных электрических цепей характеристи­ческими полиномами являются как полиномы знаменателей, так и полиномы числителей. Это следует из того, что функции Z(p) и Υ(ρ) связаны соотношением Z(p) = 1 /Y(p), т. е. являются взаимно обратными.

Поэтому третьим свойством операторных входных функций электрических цепей является то, что их полюсы и нули распола­гаются только в левой полуплоскости комплексного оператора p = σ+jω или на мнимой оси. Причем при σ=0 все полюсы и нули простые. В частности, простыми будут полюсы и нули при p= 0 и p= , в связи с чем степени полиномов числителя и знамена­теля этих функций не могут'отличаться больше чем на единицу.

Рациональные функции переменного р, обладающие вышеука­занными свойствами, называют положительными вещественными функциями.

Таким образом, необходимым условием, которому должны удовлетворять операторные входные функции Z(p) и Υ(ρ) линей­ных пассивных электрических цепей с сосредоточенными парамет­рами, является то, чтобы эти функции были положительными ве­щественными функциями. Для определения принадлежности задан­ных функций к классу положительных вещественных функций разработаны специальные методы [47].