Численное интегрирование

Определенным интегралом функции f(x), взятом в интервале от a до b, называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении всех промежутков ∆x_i к нулю:

При приближенном вычислении определенного интеграла шаг интегрирования h=∆x выбирается конечным: , где I_i - элемент интегральной суммы. Заменяя подынтегральную функцию на каждом шаге отрезками линий нулевого, первого и второго порядков, получаем приближенные формулы для вычисления интеграла методами прямоугольников, трапеций и Симпсона соответственно.

1. Приближенные формулы для вычисления интеграла методом прямоугольников (рис 12.1).

Рис. 12.1 - вычисление интеграла методом прямоугольников

Правило прямоугольников (n=0). Заменяем график функции F(x) горизонтальной линией (линий нулевого порядка) и вычисляем значение элемента интегральной суммы как площадь прямоугольника

, где h - шаг интегрирования, у₀ - значение функции в точке х=х₀

у(х₀)=у₀

2. Приближенные формулы для вычисления интеграла методом трапеций (рис. 12.2).

Рис. 12.2. - вычисление интеграла методом трапеций

Правило трапеций (n=1). Заменяем график функции F(x) прямой, проходящей через две точки (х₀,у₀) и (х₀+h,у₁), и вычисляем значение элемента интегральной суммы как площадь трапеции

3. Приближенные формулы для вычисления интеграла методом Симпсона (рис. 12.3).

Рис. 12.3. - вычисление интеграла методом Симпсона

Правило Симпсона (n=2). Заменяем график функции F(x) квадратичной параболой, проходящей через три точки с координатами (х₀,у₀), (х₀+h,у₁), (х₀+2h,у₂). Расчетную формулу для вычисления элемента интегральной суммы получим, используя интерполяционный многочлен Лагранжа, в виде: y(x)=y₀A₀(x)+y₁A₁(x)+y₂A₂(x), где:

При x₀=0; x₁=h; x₂=2h, получим:

При интегрировании на отрезке [a,b] расчетные формулы для методов прямоугольника, трапеций и Симпсона имеют вид:

где h - шаг по x, f_a, f_i, f_b - значения функции при x равном a, x_i, b соответственно.

Для метода прямоугольников приведены две расчетные формулы, так как площадь прямоугольника на каждом шаге интегрирования может определяться по левой или правой стороне. Суть метода прямоугольников для отрезка [a, b] проиллюстрирована на рисунке, при этом площадь под кривой f(x) (вспомните геометрический смысл определенного интеграла) заменена суммой площадей заштрихованных прямоугольников (рис. 12.4).