2015-05-13
1994
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка 
. Требуется найти функцию 
, удовлетворяющую при 
дифференциальному уравнению и при 
начальному условию 
.
Теорема существования и единственности задачи Коши. Пусть функция 
определена и непрерывна на множестве точек:
.
Предположим также, что она удовлетворяет условию Липшица: 
, для всех 
и произвольных 
, 
,
где 
- некоторая константа (постоянная Липшица).
Тогда для каждого начального значения 
существует единственное решение задачи Коши, определенное на отрезке 
.
Геометрически задача интегрирования дифференциальных уравнений состоит в нахождении интегральных кривых, которые в каждой своей точке имеют заданное направление касательной. Заданием начального условия мы выделяем из семейства решений ту единственную кривую, которая проходит через фиксированную точку 
.
