Постановка задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка . Требуется найти функцию , удовлетворяющую при дифференциальному уравнению и при начальному условию .

Теорема существования и единственности задачи Коши. Пусть функция определена и непрерывна на множестве точек:

.

Предположим также, что она удовлетворяет условию Липшица: , для всех и произвольных , ,

где - некоторая константа (постоянная Липшица).

Тогда для каждого начального значения существует единственное решение задачи Коши, определенное на отрезке .

Геометрически задача интегрирования дифференциальных уравнений состоит в нахождении интегральных кривых, которые в каждой своей точке имеют заданное направление касательной. Заданием начального условия мы выделяем из семейства решений ту единственную кривую, которая проходит через фиксированную точку .