1. Найти для x = 0.1m, m=0 – 10, t=0.02 решение уравнения ut = (1/ a) uxx, 0 < x < 1, 0 < t < 0.02, удовлетворяющее условиям u (0, t) =e at, u (1, t) = e a (t -1), 0 < t < 0.02; u (x,0) = e- ax, 0 < x < 1; a = 2 + 0.3 k, k = - 4.
а) по явной разностной схеме, взяв h = 0.1, t < a h2/2;
б) по неявной разностной схеме, взяв h = 0.1, t = 0.02.
Сравнить полученные решения.
2. Используя метод сеток, найти u (x, t) – решение задачи ut = uxx + (1 + ax)4 – 12 a 2 t (1 + ax)2, 0 < x < 1, 0 < t < 0.1; u (0, t) = t, u (1, t) = t (1 + a)4, 0 < t < 0.1; u (x,0) = 0, 0 < x < 1; a =
3. Найти решение задачи ut = uxx + (4 x /(x 2 + 2 t + 1)) ux, 0 < x < 1, 0 < t; u (0, t) = 1/(2 t +1), u (1, t) = 1/(2(t + 1)), 0 < t; u (x,0) = 1/(x 2 + 1), 0 < x < 1 в точках (xm, T) xm = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.1) с точностью e = 0.005.
4. Найти решение задачи ut = uxx + (4 x /(x 2 + t + 1)) ux + x /(x 2 + t + 1)2, 0 < x < 1, 0 < t; u (0, t) = 0, u (1, t) = 1/(t + 2), 0 < t; u (x,0) = x /(x 2 + 1), 0 < x < 1 в точках (xm, T) xm = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.4) с точностью e = 0.01.
5. Используя метод сеток, найти u (x, t) – решение задачи ut = uxx + (- a 2 t + 1)e- ax , 0 < x < 1, 0 < t < 0.01; u (0, t) = t, u (1, t) = t e- a , 0 < t < 0.01; u (x,0) = 0, 0 < x < 1; a = 0.5 k, k = 2 при t = 0.01 с точностью 0.001, если! utt! < 0.02,! uxxxx! < 6.
6. Найти решение задачи ut = (1/2) uxx - 4 x 2/(x 2 + t + 1)3, 0 < x < 1, 0 < t; u (0, t) = 1/(t + 1), u (1, t) = 1/(t + 2), 0 < t; u (x,0) = 1/(x 2 + 1), 0 < x < 1 в точках (xm, T) xm = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.3) с точностью e = 0.005.
7. Найти для x = 0.1m, m=0 – 10, t=0.02 решение уравнения ut = (1/ a) uxx, 0 < x < 1, 0 < t < 0.02, удовлетворяющее условиям u (0, t) =e at, u (1, t) = e a ( t -1), 0 < t < 0.02; u (x,0) = e- ax, 0 < x < 1; a = 2 + 0.3 k, k = 4:
а) по явной разностной схеме, взяв h = 0.1, t < a h2/2;
б) по неявной разностной схеме, взяв h = 0.1, t = 0.02.
Сравнить полученные решения.
8. Найти решение задачи ut = uxx + (4 x /(x 2 + t + 1)) ux, 0 < x < 1, 0 < t; u (0, t) = 1/(2 t + 1), u (1, t) = 1/(2(t + 1)), 0 < t; u (x,0) = 1/(x 2 + 0.1), 0 < x < 1 в точках (xm, T) xm = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.2) с точностью e = 0.005.
9. Найти решение задачи ut = (1/2) uxx + 4 x 2/(x 2 + t + 1)3, 0 < x < 1, 0 < t; u (0, t) = 1/(t + 1), u (1, t) = 1/(t + 2), 0 < t; u (x,0) = 1/(x 2 + 1), 0 < x < 1 в точках (xm, T) xm = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.2) с точностью e = 0.005.
10. Используя метод сеток, найти u (x, t) – решение задачи ut = uxx + (- a 2 t + 1)e- ax , 0 < x < 1, 0 < t < 0.01; u (0, t) = t, u (1, t) = t e- a , 0 < t < 0.01; u (x,0) = 0, 0 < x < 1; a = 0.5 k, k = 4 при t = 0.01 с точностью 0.001, если! utt! < 0.02,! uxxxx! < 6.
11. Найти решение задачи ut = uxx + (4 x /(x 2 + t + 1)) ux + x /(x 2 + t + 1)2, 0 < x < 1, 0 < t; u (0, t) = 0, u (1, t) = 1/(t + 2), 0 < t; u (x,0) = x /(x 2 + 1), 0 < x < 1 в точках (xm, T) xm = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.3) с точностью e = 0.01.
12. Используя метод сеток, найти u (x, t) – решение задачи ut = uxx + (1 + ax)4 – 12 a 2 t (1 + ax)2, 0 < x < 1, 0 < t < 0.1; u (0, t) = t, u (1, t) = t (1 + a)4, 0 < t < 0.1; u (x,0) = 0, 0 < x < 1; a = 1 + 0.4 k, k = 4 при t = 0.01 с точностью 0.001, если! utt! < 0.02,! uxxxx! < 6.
13. Найти для x = 0.1m, m=0 – 10, t=0.02 решение уравнения ut = (1/ a) uxx, 0 < x < 1, 0 < t < 0.02, удовлетворяющее условиям u (0, t) =e at, u (1, t) = e a (t -1), 0 < t < 0.02, u (x,0) = e- ax, 0 < x < 1; a = 2 + 0.3 k, k = - 2:
а)по явной разностной схеме, взяв h = 0.1, t < a h2/2;
б) по неявной разностной схеме, взяв h = 0.1, t = 0.02.
Сравнить полученные решения.
14. Найти решение задачи ut = (1/2) uxx + 4 x 2/(x 2 + t + 1)3, 0 < x < 1, 0 < t; u (0, t) = 1/(t + 1), u (1, t) = 1/(t + 2), 0 < t; u (x,0) = 1/(x 2 + 1), 0 < x < 1 в точках (xm, T) xm = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.1) с точностью e = 0.005.
15. Используя метод сеток, найти u (x, t) – решение задачи ut = uxx + (- a 2 t + 1)e- ax , 0 < x < 1, 0 < t < 0.01; u (0, t) = t, u (1, t) = t e- a , 0 < t < 0.01; u (x,0) = 0, 0 < x < 1; a = 0.5 k, k = 6 при t = 0.01 с точностью 0.001, если! utt! < 0.02,! uxxxx! < 6.
16. Найти решение задачи ut = uxx + (4 x /(x 2 + t + 1)) ux, 0 < x < 1, 0 < t; u (0, t) = 1/(2 t + 1), u (1, t) = 1/(2(t + 1)), 0 < t; u (x,0) = 1/(x 2 + 0.1), 0 < x < 1 в точках (xm, T) xm = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.3) с точностью e = 0.005.
17. Используя метод сеток, найти u (x, t) – решение задачи ut = uxx + (1 + ax)4 – 12 a 2 t (1 + ax)2, 0 < x < 1, 0 < t < 0.1; u (0, t) = t, u (1, t) = t (1 + a)4, 0 < t < 0.1; u (x,0) = 0, 0 < x < 1; a = 1 + 0.4 k, k = 3 при t = 0.01 с точностью 0.001, если! utt! < 0.02,! uxxxx! < 6.
18. Найти решение задачи ut = uxx + (4 x /(x 2 + t + 1)) ux + x /(x 2 + t + 1)2, 0 < x < 1, 0 < t; u (0, t) = 0, u (1, t) = 1/(t + 2), 0 < t; u (x,0) = x /(x 2 + 1), 0 < x < 1 в точках (xm, T) xm = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.2) с точностью e = 0.01.
19. Найти для x = 0.1m, m=0 – 10, t=0.02 решение уравнения ut = (1/ a) uxx, 0 < x < 1, 0 < t < 0.02, удовлетворяющее условиям u (0, t) =e at, u (1, t) = e a (t -1), 0 < t < 0.02; u (x,0) = e- ax, 0 < x < 1; a = 2 + 0.3 k, k = 3:
а) по явной разностной схеме, взяв h = 0.1, t < a h2/2;
б) по неявной разностной схеме, взяв h = 0.1, t = 0.02.
Сравнить полученные решения.
20. Используя метод сеток, найти u (x, t) – решение задачи ut = uxx + (- a 2 t + 1)e- ax , 0 < x < 1, 0 < t < 0.01; u (0, t) = t, u (1, t) = t e- a , 0 < t < 0.01; u (x,0) = 0, 0 < x < 1; a = 0.5 k, k = 1 при t = 0.01 с точностью 0.001, если ½ utt ê < 0.02, ½ uxxxx ê < 6.