Колебательное звено

Звено описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

(2.11)

где - постоянная времени, характеризующая собственную частоту колебаний системы (звена);

- коэффициент демпфирования;

- коэффициент усиления (передачи).

Переходная функция этого звена определяется из решения дифференциального уравнения второго порядка (2.11). Вид переходной функции определяется корнями характеристического уравнения

При значениях коэффициента демпфирования корни будут комплексно-сопряжёнными:

где - коэффициент, характеризующий затухание колебаний в ТЗ;

- собственная частота колебаний ТЗ.

После решения дифференциального уравнения (2.11) при получим переходную функцию колебательного ТЗ:

(2.12)

где

Из анализа переходной характеристики (рис. 2.18,а), построенной по формуле (2.12), следует, что при коэффициенте демпфирования переходный процесс в колебательном ТЗ сопровождается затухающими колебаниями с частотой и амплитудой, уменьшающейся по экспоненте . Промежуток времени между экстремумами, расположенными рядом с одной стороны от нового установившегося значения , равен периоду собственных колебаний .

Если известен переходный процесс для колебательного ТЗ и требуется определить и , то достаточно определить и декремент затухания , определяемый по величине снижения амплитуды колебаний за половину периода:

(2.13)

Логарифмируя левую и правую части уравнения (2.13), получим:

При известных и легко определить и по формулам:

При переходная характеристика ТЗ не имеет колебаний и становится похожей на переходную характеристику апериодического ТЗ (рис. 2.18,в). Поэтому колебательное звено при иногда называют апериодическим звеном второго порядка. При отсутствии демпфирования () колебательное ТЗ называют консервативным колебательным ТЗ. Переходный процесс в этом звене сопровождается незатухающими колебаниями (рис. 2.18,б). На практике всегда имеется трение и потери энергии, поэтому переходный процесс в колебательном ТЗ имеет затухающий характер.

Построение переходной характеристики колебательного ТЗ облегчается, если воспользоваться формулой (2.13). Имея в виду, что при справедливо равенство , максимальные отклонения переходной характеристики при относительно прямой в соответствии с формулой (2.13) будут равны

где - номер экстремальной точки переходной характеристики.

Соединяя экстремальные точки плавной кривой, получим переходную характеристику колебательного ТЗ.

Передаточная и частотная функции определяются соотношениями:

(2.14)

Амплитудная и фазовая частотные характеристики, полученные из выражения (2.14), имеют вид:

где - числитель частотной функции;

- знаменатель частотной функции.

При значениях коэффициента демпфирования АЧХ колебательного ТЗ представляет собой резонансную кривую (рис. 2.19,а). Резонансная частота колебаний определяется по формуле:

При АЧХ колебательного ТЗ представляет собой кривую, похожую на АЧХ апериодического ТЗ. С увеличением частоты колебаний амплитуда колебаний на выходе из колебательного ТЗ стремиться к нулю.

ФЧХ колебательного ТЗ представлена на рис. 2.19,б. Она представляет кривую, асимптотически приближающуюся к значению . В консервативном колебательном ТЗ на происходит резкая смена фазы выходного сигнала на угол .