Уравнение плоской волны, движущейся в определённом координатном направлении

Источником плоских волн может служить плоскость достаточно больших линейных размеров, колеблющаяся по гармоническому закону вдоль направления нормали к ней. Пусть такой источник волн колеблется по закону:

ξ= а sinω t

В точке среды, отстоящей от источника на расстоянии х, колебания возникнут не сразу, так как деформации в среде распространяются с конечной скоростью. Поэтому закон колебаний точки среды на расстоянии х от источника можно представить следующей зависимостью:

Здесь время запаздывания колебаний определяются скоростью v волны. Учитывая, что

уравнение плоской волны можно представить и в несколько ином виде:

Из последней записи волны видно, что смещения частиц среды подчиняются периодическому закону как во времени, так и в пространстве. Одна и та же точка среды колеблется по гармоническому закону с течением времени. Если же зафиксировать смещение частиц среды в определенный момент времени (сделать "моментальную" фотографию участка среды), то также заметно периодическое распределение смещений в пространстве. Поэтому волновым называют процесс, периодический во времени и в пространстве.

Фиксируя картину волнового процесса для определённого момента времени заметим, что определённые точки среды с разными координатами обладают одинаковыми состояниями движения, т.е. имеют одинаковые смещения, скорости и ускорения. Расстояние

между двумя ближайшими точками среды, имеющими одинаковые состояния движения, называется длиной волны. Из уравнения волны видно, что фазы колебаний, соответствующие этим точкам среды, должны отличаться на 2π. Отсюда можно найти значение длины волны:

С учётом найденного значения длины волны само уравнение плоской волны запишется в виде:

Величина, характеризующая волну, называется волновым числом. Таким образом, уравнение плоской волны, движущейся в направлении оси ОХ, принимает вид, симметричный относительно времени и пространственной координаты:

В таком виде обычно и рассматривается уравнение плоской волны. Из уравнения плоской волны следует, что если пренебречь затуханием в среде, амплитуда колебаний точек среды а с течением времени не изменяется, остается постоянной. Что касается фазы колебаний, то последняя зависит не только от времени, но и от положения точек в пространстве.