Гармонические колебания

Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f (t). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис. 2.1.1).

Рисунок 2.1.1. Механические колебательные системы

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными (см. §2.5).

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением

x = xm cos (ωt + φ0).

Здесь x – смещение тела от положения равновесия, x_m – амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний, t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ₀ называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ₀, поэтому φ₀ называют начальной фазой. Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T. Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний:

Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

25. Маятники

Математический маятник.

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Таким маятником можно считать тяжелый шар массой m, подвешенный на тонкой нити, длина l которой намного больше размеров шара. Если его отклонить на угол α (рис.7.3.) от вертикальной линии, то под влиянием силы F – одной из составляющих веса Р он будет совершать колебания. Другая составляющая , направленная вдоль нити, не учитывается, т.к. уравновешивается силой натяжения нити. При малых углах смещения и, тогда координату х можно отсчитывать по горизонтальному направлению. Из рис.7.3 видно, что составляющая веса, перпендикулярная нити, равна

Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α

Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения

Момент силы относительно точки О: , и момент инерции:
M = FL.
Момент инерции J в данном случае
Угловое ускорение:

С учетом этих величин имеем:

или

Его решение
,

где и

Как видим, период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний.

Физический маятник.

Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной.

При небольших углах отклонения α (рис. 7.4) физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.

Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α

Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения

. Момент силы: определить в явном виде нельзя. С учетом всех величин, входящих в исходное дифференциальное уравнение колебаний физического маятника имеет вид:

Решение этого уравнения

Определим длину l математического маятника, при которой период его колебаний равен периоду колебаний физического маятника, т.е. или

.
Из этого соотношения определяем

Данная формула определяет приведенную длину физического маятника, т.е. длину такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.

26. Энергия гармонического осциллятора

Собственные незатухающие колебания возникают в системе при выполнении двух условий: во-первых, при смещении из положения равновесия должна возникать возвращающая сила, пропорциональная смещению (упругая или квазиупругая), и, во-вторых, в системе должны отсутствовать диссипативные силы.

Запустить колебание можно по-разному, но в любом случае эта операция означает сообщение системе некоторого запаса энергии. Далее в процессе колебания эта энергия будет переходить из потенциальной в кинетическую и обратно, но сумма этих энергий в любой момент времени должна быть неизменно равной начальной механической энергии.

Обратимся к конкретному осциллятору — пружинному маятнику (рис. 13.1).

Рис. 13.1

Колебание груза массой m происходит по гармоническому закону:

x = a Cos (w t + a). (13.1)

Скорость груза меняется по закону синуса:

. (13.2)

Вычислим механическую энергию маятника в произвольный момент времени t:

E _мех = Е _к + U.

Здесь: — кинетическая энергия груза,

U = — потенциальная энергия деформированной пружины.

(13.3)

(13.4)

В последнем выражении мы учли, что , то есть .

Кинетическая и потенциальная энергии осциллятора меняются с частотой, вдвое превышающей частоту колебаний маятника — w₀ (рис. 13.2). И та и другая составляющие механической энергии осциллируют во времени. А их сумма?

(!). (13.5)

Их сумма остается неизменной в любой момент времени. Этот результат можно было бы предсказать a priori: ведь в процессе собственных незатухающих колебаний выполняется закон сохранения механической энергии.

Рис. 13.2

Легко видеть, что уравнение (13.5) выражает механическую энергию системы через максимальную кинетическую, когда потенциальная энергия равна нулю. В этот момент груз проходит с максимальной скоростью положение равновесия.

Но эту же механическую энергию можно связать и с максимальной потенциальной энергией — в точке амплитудного отклонения маятника, где v = 0 и Е _к = 0.

. (13.6)

Здесь k = , поэтому

.

Максимальная потенциальная энергия (U _max) незатухающего осциллятора равна его максимальной кинетической энергии и обе они равны полной механической энергии (Е _мех) системы, которая в процессе колебаний остается неизменной.

27. Сложение колебаний одного направления.Биения.

Сложение гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой.

Рассмотрим сложение одинаково направленных колебаний одного периода, но отличающихся начальной фазой и амплитудой. Уравнения складываемых колебаний заданы в следующем виде:

где и - смещения; и - амплитуды; и - начальные фазы складываемых колебаний. Амплитуду результирующего колебания удобно определить с помощью векторной диаграммы, на которой отложены векторы амплитуд и складываемых колебаний под углами и к оси х и по правилу параллелограмма получен вектор амплитуды суммарного колебания . Если равномерно вращать систему векторов (параллелограмм) и проектировать векторы на ось OY, то их проекции будут совершать гармонические колебания в соответствии с заданными уравнениями. Взаимное расположение векторов , и при этом остается неизменным, поэтому колебательное движение проекции результирующего вектора тоже будет гармоническим.

Отсюда следует вывод, что суммарное движение - гармоническое колебание, имеющее заданную циклическую частоту. Определим модуль амплитуды А результирующего колебания В угол (из равенства противоположных углов параллелограмма).

Следовательно

отсюда

.
Согласно теореме косинусов

или

Начальная фаза результирующего колебания определяется из :

Соотношения для фазы и амплитуды позволяют найти амплитуду и начальную фазу результирующего движения и составить его уравнение

Биения

Рассмотрим случай, когда частоты двух складываемых колебаний мало отличаются друг от друга , и пусть амплитуды одинаковы и начальные фазы , т.е. Сложим эти уравнения аналитически

Преобразуем


Тогда

Так как все же медленно изменяется, величину нельзя назвать амплитудой в полном смысле этого слова (амплитуда величина постоянная). Условно эту величину можно назвать переменной амплитудой. График таких колебаний показан на рис. 1.6 Складываемые колебания имеют одинаковые амплитуды, но различны периоды, при этом периоды отличаются незначительно друг от друга. При сложении таких колебаний наблюдаются биения. Число n биений в секунду определяется разностью частот складываемых колебаний, т.е.

Биения можно наблюдать при звучании двух камертонов, если частоты и колебаний близки друг к другу.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Пусть материальная точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях, совершающихся с одинаковыми периодами Т в двух взаимно перпендикулярных направлениях. С этими направлениями можно связать прямоугольную систему координат XOY, расположив начало координат в положении равновесия точки. Обозначим смещение точки С вдоль осей ОХ и OY, соответственно, через х и у.

Рассмотрим несколько частных случаев.

A. Начальные фазы колебаний одинаковы. Выберем момент начала отсчета времени таким образом, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю. Тогда смещения вдоль осей ОХ и OY можно выразить уравнениями:

Поделив почленно эти равенства, получим уравнения траектории точки С:
или

Следовательно, в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний точка С колеблется вдоль отрезка прямой, проходящей через начало координат.

Б. Начальная разность фаз равна π Уравнения колебания в этом случае имеют вид:

Уравнение траектории точки

Следовательно, точка С колеблется вдоль отрезка прямой, проходящей через начало координат, но лежащие в других квадрантах, чем в первом случае. Амплитуда А результирующих колебаний в обоих рассмотренных случаях равна

В. Начальная разность фаз равна .

Уравнения колебаний имеют вид:

Разделим первое уравнение на , второе - на :

Возведем оба равенства в квадрат и сложим. Получим следующее уравнение траектории результирующего движения колеблющейся точки

Колеблющаяся точка С движется по эллипсу с полуосями и . При равных амплитудах траекторией суммарного движения будет окружность В общем случае при , но кратным, т.е. , при сложении, взаимно перпендикулярных колебаний колеблющаяся точка движется по кривым, называемым фигурами Лиссажу. Конфигурация этих кривых зависит от соотношения амплитуд, начальных фаз и периодов составляющих колебаний.

28. Затухающие колебания

Все реальные колебательные системы являются диссипативными. Энергия механических колебаний такой системы постепенно расходуется на работу против сил трения, поэтому свободные колебания всегда затухают - их амплитуда постепенно уменьшается. Во многих случаях, когда отсутствует сухое трение, в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях движения силы, вызывающие затухание механических колебаниях, пропорциональны скорости. Эти силы, независимо от их происхождения, называют силами сопротивления.

где r - коэффициент сопротивления, v - скорость движения. Запишем второй закон Ньютона для затухающих колебаний тела вдоль оси ОХ

или

Перепишем это уравнение в следующем виде:

и обозначим:

где представляет ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления среды, т.е. при r = 0. Эту частоту называют собственной частотой колебания системы; β - коэффициент затухания. Тогда

Будем искать решение уравнения (7.19) в виде

где U - некоторая функция от t.

Продифференцируем два раза это выражение по времени t и, подставив значения первой и второй производных в уравнение (7.19), получим

Решение этого, уравнения существенным образом зависит от знака коэффициента, стоящего при U. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положительный. Введем обозначение тогда С вещественным ω решением этого уравнения, как мы знаем, является функция

Таким образом, в случае малого сопротивления среды , решением уравнения (7.19) будет функция

График этой функции показан на рис. 7.8. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки. Величину называют собственной циклической частотой колебаний диссипативной системы. Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, т.к, в них никогда не повторяются, например, максимальные значения смещения, скорости и ускорения. Величину обычно называют периодом затухающих колебаний, правильнее - условным периодом затухающих колебаний,

Натуральный логарифм отношения амплитуд смещений, следующих друг за другом через промежуток времени, равный периоду Т, называют логарифмическим декрементом затухания.

Обозначим через τ промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Тогда

откуда

Следовательно, коэффициент затухания есть физическая величина, обратная промежутку времени τ, в течение которого амплитуда убывает в е раз. Величина τ называется временем релаксации.

Пусть N - число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е раз, Тогда

Следовательно, логарифмический декремент затухания δ есть физическая величина, обратная числу колебаний N, по истечению которого амплитуда убывает в е раз