Стоячие волны

В качестве примера интерференции двух волн могут служить так называемые стоячие волны - результат суперпозиции двух волн одинаковой амплитуды, движущихся во встречных направлениях.

Рассмотрим две плоские волны одинаковой амплитуды, одна из которых распространяется в положительном направлении оси ОХ, а другая - в отрицательном. Соответствующим подбором начала координат и начала отсчёта времени можно добиться того, что в точке пространства с координатой х уравнения этих волн имеют вид:

Суперпозиция таких волн даёт результирующее колебание точек среды:

Как видно, результирующее колебание происходит с той же частотой, с какой частицы

среды колеблются в прямой и встречной волне. Амплитуда колебаний зависит от положения точки среды (координаты х), но для одной и той же точки остаётся постоянной с течением времени. Такую периодическую во времени и в пространстве картину называют стоячей волной, которая описывается уравнением стоячей волны (431).

Из уравнения стоячей волны легко получить зависимости от времени скорости и ускорения колебаний частиц среды около их положений равновесия:

(433)

Вид этих зависимостей, аналогичный уравнению стоячей волны для смещений, позволяет сделать заключение, что скорости и ускорения колебаний частиц около их положений равновесия также образуют стоячие волны.

Относительную деформацию участка среды, в котором установилась стоячая волна, также легко определить из уравнения стоячей волны (431):

Вид распределения относительной деформации (434) также позволяет сказать, что и для неё устанавливается стоячая волна. Из уравнения стоячей волны (431) видно, что для некоторых точек среды амплитуда колебаний равна для любого момента времени нулю (такие точки называются узлами стоячей волны). В других точках амплитуда колебаний максимальна и равна 2а, эти точки назы­ваются пучностями стоячей волны. Определим координаты узлов и пучностей

стоячей волны.

Отметим сначала, что амплитудой колебаний для стоячей волны называют, строго говоря, величину А = |2acoskx|. Поэтому максимуму амплитуды колебаний для любого

момента времени отвечает условие, где n - целое число. Из этого условия координаты пучностей стоячей волны равны:

Аналогичным образом определяется условие минимума амплитуды колебаний:

откуда координаты узлов стоячей волны равны:

Очевидно, что расстояние между соседними узлами или между соседними пучностями равно половине длины проходящей волны. Расстояние между соседними узлами или между соседними пучностями называется длиной стоячей волны, следовательно, длина стоячей волны связана с длиной проходящей волны соотношением:

Из уравнения стоячей волны (431) следует, что для любого момента времени частицы среды между соседними узлами имеют смещения одинакового знака. Иначе говоря, эти частицы одновременно проходят положение равновесия и одновременно достигают положений максимального отклонение в одну сторону от положения равновесия. По другую сторону от узла все частицы на расстоянии до следующего узла также одновременно проходят свои положения равновесия и одновременно достигают максимальных отклонений, но уже в другую сторону от положения равновесия. Следовательно, между соседними узлами частицы колеблются в одинаковой фазе, а при переходе через узел фаза колебаний скачком изменяется на .

Сравнивая уравнения стоячей волны (431), (432) и (433) для смещений, скоростей и ускорений, заметим, что фаза ускорения от скорости и фаза скорости от смещения отличаются на. Для них же совпадают узлы и пучности. Что же касается стоячей волны (434) для относительной деформации, то её узлы совпадают с пучностями стоячей волны для смещений и наоборот.

Поскольку для узлов смещений относительная деформация принимает максимальные значения, в этих точках будут максимальными и упругие напряжения (силы).

На практике стоячие волны получают в результате наложения бегущей волны и волны, отраженной от границы раздела сред. В зависимости от условий на границе раздела стоячая волна принимает тот или иной вид.

Например, стоячая волна образуется в результате сложения бегущей волны с отраженной от более плотной среды. Как было получено в 17.7., от более плотной среды происходит антифазное отражение, амплитуда отраженной волны изменяет свой знак на противоположный. Так как фаза меняется на противоположную на расстоянии, равном половине длины волны, факт антифазного отражения называют потерей полволны. Вследствие этого результирующее смещение, если пренебречь изменением амплитуды при отражении, в любой момент времени на границе раздела сред равно нулю, т.е. при отражении от более плотной среды на границе раздела сред образуется узел стоячей волны. Если же отражение происходит от менее плотной среды, знак амплитуды отраженной волны тот же, что и у волны, падающей на границу раздела сред. Поэтому на границе раздела сред образуется пучность стоячей волны, амплитуда колебаний частиц в которой равна удвоенной амплитуде падающей волны.