2015-05-13
422
Пусть имеется торговая фирма, реализующая некоторый товар на рынке.
Спрос на товар на T -м отрезке времени линейно зависит от текущей цены 
и случайной переменной 
, учитывающей влияние случайных факторов на величину спроса. Логично предположить, что спрос симметрично колеблется относительно среднего значения, которое определяется постоянными коэффициентами линейного уравнения. Поэтому принимается, что переменная имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и заданным среднеквадратическим отклонением 
. Таким образом, зависимость для спроса на товар имеет следующий вид:
,
где 
– спрос на T -м отрезке времени;
A, B – коэффициенты линейного уравнения;
– подлежащая определению цена на T -м отрезке времени;
– случайная величина с заданным нормальным распределением.
Знак «минус» в уравнении означает, что с повышением цены спрос на продукцию снижается.
Предложение на T -м отрезке времени рассчитывается с учетом обучения системы. Поэтому оно зависит от цены на предыдущих (T –1)-м и (T –2)-м отрезках времени и случайной переменной 
, которая учитывает влияние случайных факторов на величину предложения. Переменная имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и заданным среднеквадратическим отклонением 
. Таким образом, зависимости для предложения имеют следующий вид:
|
|
|
,
,
где 
– предложение на T -м отрезке времени;
C, E – коэффициенты линейного уравнения;
– средневзвешенная цена на двух предыдущих отрезках времени;
– случайная величина с заданным нормальным распределением;
– цена на (T –1)-м отрезке времени;
– цена на (T –2)-м отрезке времени;
r –весовой коэффициент, задаваемый в диапазоне 
.
Крайние случаи r =0 и r =1 означают, что обучение в модель не заложено, так как при них 
и 
соответственно. Случай r =0,5 соответствует среднему арифметическому цен и .
Условие локального равновесия рынка означает совпадение спроса и предложения с точностью до случайной величины 
. Предполагается, что переменная имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и заданным среднеквадратическим отклонением 
. Зависимость, учитывающая равновесие рынка, (уравнение локального равновесия рынка) имеет вид:
= + ,
где – предложение на T -м отрезке времени;
– спрос на T -м отрезке времени;
– случайная величина с заданным нормальным распределением.
Подставляя выражения для , и в уравнение локального равновесия рынка и разрешая уравнение относительно , получаем:
.
Поскольку для определения величины необходимо знать значения и для двух предыдущих отрезков времени, то проводить расчеты можно только, начиная с 3-го отрезка при условии, что 
и 
известны. Для их нахождения можно сделать дополнительное допущение о том, что на первых двух отрезках обучение отсутствует, т.е. весовой коэффициент r =0. Без учета случайностей цена на 2-м отрезке определится по формуле:
|
|
|
.
Если предположить, что перед началом работы фирмы исходная цена совпадает с ценой на 1-м отрезке, то величина определится по формуле:
.
Задача моделирования заключается в исследовании влияния параметров системы на характер зависимости цены от времени.
Зависимость цены товара от времени в «паутинообразной» модели фирмы. Зависимость цены товара P от времени имеет колебательный характер и зависит от соотношения параметров E и B. Если Е < B, то колебания незначительны; если Е = B, то колебания имеют постоянную амплитуду, а если Е > B, то амплитуда колебаний имеет тенденцию к безграничному возрастанию. Однако по физическим соображениям цена не может быть отрицательной. С учетом этого ограничения возрастание амплитуды происходит до тех пор, пока не начнут появляться нулевые значения цены. После этого колебания стабилизируются.
