Дифференциальное уравнение гармонического осцилятора

Для колебания в одномерном пространстве, учитывая Второй закон Ньютона (F = m d² x /d t ²) и закон Гука (F = − kx, как описано выше), имеем линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

где

m — масса тела,

x — его перемещение относительно положения равновесия,

k — постоянная (коэффициент жёсткости пружины).

Решение этого дифференциального уравнения является синусоидальным; одно из решений таково:

Используя приёмы дифференциального исчисления, скорость иускорение как функция времени могут быть найдены по формулам:

Ускорение может быть также выражено как функция перемещения:

Поскольку ma = − m ω² x = − kx, то

Учитывая, что ω = 2π f, получим

и поскольку T = 1/ f, где T — период колебаний, то

Эти формулы показывают, что период и частота не зависят от амплитуды и начальной фазы движения.

3) Математи́ческий ма́ятник

— осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомомстержне в однородном поле сил тяготения^[1]. Период малых собственных колебаний математического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести сускорением свободного падения g равен