Переносы начала

Мы ограничим наше рассмотрение законами механики, ко­торую достаточно хорошо изучили. В предыдущих главах мы установили, что законы механики можно свести к трем справед­ливым для любой частицы уравнениям:

Это означает, что существует такой способ измерения расстоя­ний х, у и z вдоль трех взаимно перпендикулярных осей и сил вдоль этих направлений, при котором определяемые уравнениями (11.1) законы верны. Расстояния должны отсчитываться от некоторого начала, но где следует расположить это начало? Ньютон сказал нам только, что такая точка, от которой можно начать отсчет, существует; может быть, это центр Вселенной, и при измерении расстояний от нее его законы верны. Но мы можем немедленно показать, что незачем искать центр Вселен­ной, ибо безразлично, какую точку взять за начало координат. Иными словами, предположим, что имеются два человека — Джо, который выбрал начало своей системы координат в какой-то точке, и Мик, который построил систему координат, парал­лельную первой, но принял за начало другую точку (фиг. 11.1), расположенную на расстоянии а по оси х в его системе.

Фиг.11.1.Две параллельные координатные системы.

Когда Джо определяет положение произвольной точки в про­странстве, он находит три ее координаты: х, у и z (обычно мы опускаем ось z, ибо ее трудно изобразить на нашем чертеже). В системе Мика эта точка будет иметь другое значение х (чтобы отличить его, введем обозначение х') и, вообще говоря, другое значение у, хотя в нашем примере они численно равны. Таким образом, мы имеем

х'=х- а, у'=y, z'=z. (11.2)

Чтобы сделать наш анализ полным, нужно знать, какие силы измеряет Мик. Если сила действует вдоль произвольной линии, то под силой вдоль направления х мы понимаем некоторую часть общей силы, которая равна произведению величины силы на косинус угла между направлением силы и осью х. Легко ви­деть, что Мик получит те же проекции силы, какие получил Джо, т. е. мы имеем систему уравнений

F_x''=F_x, F_y''=F_y , F_z'=F_z. (11.3)

Уравнения (11.2) и (11.3) определяют соотношения между ве­личинами, используемыми Джо и Миком.

Теперь поставим вопрос так: если Джо знает законы Нью­тона, то будут ли они верны, когда их попробует использовать Мик? Имеет ли значение выбор начала координат? Другими словами, предположим, что уравнения (11.1) верны, а (11.2) и (11.3) определяют соотношения между измеряемыми величи­нами; верно ли, что

Чтобы проверить эти уравнения, дважды продифференци­руем выражение для х по времени. Прежде всего

Предположим теперь, что начало системы координат, которой пользуется Мик, фиксировано (не движется) относительно си­стемы координат Джо, т. е. а постоянна и da/dt= 0; таким об­разом, получаем

dx'/dt=dx/dt и, следовательно,

d²x'/dt²=d²x/dt² Если предположить, что измеряемые Джо и Миком массы равны, то уравнение (11.4а) принимает вид

Таким образом, произведения массы на ускорение одинаковы у обоих друзей. Можно получить и формулу для F_X' . Использо­вав (11.1), мы обнаружим

. F_x'=F_x.

Следовательно, законы механики, с точки зрения Мика, точно такие же: он пишет законы Ньютона в других координа­тах, и эти законы оказываются верными. Это означает, что центра Вселенной нет и законы движения выглядят одина­ково, с какого бы места они ни наблюдались.

Верно и такое утверждение: если в каком-либо месте установить устройство с каким-то механизмом, то и в любом другом месте это устройство будет работать одинаково. Почему? Потому что любая машина, которую изучает Мик, подчиняется тем же уравнениям, которые описывают работу машины, контролируе­мой Джо. Поскольку уравнения, одинаковы, то и явления одни ' и те же. Таким образом, доказательство того, что аппарат в но­вом месте будет работать так же, как на прежнем, сводится к доказательству, что отнесенные к новой точке пространства уравнения воспроизводят себя. Поэтому мы говорим, что законы физики симметричны относительно перемещений в про­странстве, симметричны в том смысле, что законы не изменяются при перемещениях начала системы координат. Конечно, каж­дый интуитивно знает, что это верно, но интересно и полезно обсудить математику этого явления.