Векторы

Насколько нам известно сейчас, не только законы Ньютона, но и все физические законы обладают двумя свойствами, кото­рые называют инвариантностью (или симметрией) относительно перемещений и поворотов координатных осей. Эти свойства столь важны, что для учета их при изучении физических зако­нов была разработана специальная математическая техника.

Решение поставленных в предыдущих параграфах задач по­требовало довольно длинных расчетов. Чтобы свести их к ми­нимуму, изобретен могучий математический аппарат. Эта си­стема, называемая векторным анализом, определила название главы, хотя в ней, собственно говоря, речь идет о симметрии физических законов. Конечно, можно получить искомый ре­зультат, поступая так, как было описано раньше, но, чтобы облегчить и ускорить нашу задачу, мы применяем технику век­торного анализа.

Заметим, что в физике важно знать величины двух типов (на самом деле их больше двух, но давайте начнем с двух). Величины первого типа, например число картофелин в мешке, мы будем называть обыкновенными числами, или скалярами. Еще одним примером такой величины может служить темпе­ратура. Другие очень важные в физике величины имеют на­правление, это, например, скорость; мы должны задать не только быстроту перемещения тела, но и путь, по которому оно движется. Импульс и сила тоже имеют направление, как и смеще­ние: когда кто-нибудь делает шаг, можно сказать не только, как далеко он шагнул, но и куда он шагает, т. е. определить направление его движения.

Все величины, имеющие направление, подобно шагу в про­странстве, называются векторами.

Вектор определяется тремя числами. Чтобы описать шаг, скажем из начала координат в точку Р, определяемую коорди­натами х, у и z, мы фактически должны задать три числа. Но мы будем использовать для этой цели один-единственный матема­тический символ r, с которым нам чаще всего придется иметь дело в дальнейшем. Это не одно число: символ r задается тремя числами: х, у и z. Символ r означает три числа, но не только эти три числа, потому что при переходе к другой системе координат нужно заменить их числами х', у' и z'. Однако мы хотим как можно более упростить нашу математику и исполь­зуем один и тот же символ в качестве представителя трех чи­сел х, у, z и трех чисел х', у', z'. Точнее говоря, мы используем один и тот же символ в качестве представителя первого набора чисел в одной системе координат и делаем его представителем второго набора чисел, если захотим сменить систему коор­динат. Это удобно потому, что нам не придется изменять формы уравнений при переходе от одной системы координат к другой. Если мы записываем уравнения, используя координаты х, у и r, а затем меняем систему отсчета, то появляются координаты х', у' и z', но мы пишем просто r, условившись, что этот символ служит представителем х, у, z, если мы пользуемся первой системой отсчета, и х', у', z', если мы перешли к другой системе. Три числа, которые описывают векторную величину в заданной системе отсчета, называются составляющими (компонентами) вектора в направлении координатных осей системы отсчета. Иначе говоря, мы используем один символ для обозначения трех букв, и он соответствует наблюдению одного и того же объек­та с трех разных точек зрения. Произнося слова «один и тот же объект», мы обращаемся к нашей физической интуиции, которая говорит нам, что шаг в пространстве не зависит от того, какими составляющими мы его описываем. Итак, символ r представляет один и тот же объект независимо от того, как мы ориентируем оси системы отсчета.

Предположим теперь, что существует другая направленная величина, например сила — еще одна величина, которую можно определить, задав связанные с ней три числа. Эти три числа переходят при изменении системы координат в другие три числа по строго определенным математическим правилам. Эти правила должны быть теми же самыми, которые определяли пере­ход тройки чисел х, у, z в х', у', z'. Другими словами, вектор — это величина, определяемая тремя числами, которые преобра­зуются при изменениях системы координат так же, как состав­ляющие шага в пространстве. Уравнение типа

F = r

справедливо в любой системе координат, если оно верно хотя бы в одной из них. Оно заменяет нам три уравнения

F_x=x, F_y=y, F_z=z или соответственно

F_х'= х',F _у'=у',F_z'=z'.

Тот факт, что физические соотношения между какими-либо ве­личинами можно выразить в виде векторных уравнений, говорит о том, что эти соотношения верны в любой системе координат. Вот почему понятие вектора очень удобно в физике.

Давайте теперь рассмотрим некоторые свойства векторов. В качестве примера «вектора» можно указать скорость, импульс, силу и ускорение. Часто бывает удобно изобразить вектор в виде стрелки, указывающей направление действия. Но почему же можно представить силу стрелкой? Да потому, что она пре­образуется по тем же законам, что и «шаг в пространстве». Именно поэтому можно представить силу в виде чертежа, как если бы это изображалось перемещение, причем выберем та­кой масштаб, чтобы единица силы, например ньютон, соответ­ствовала некоторой длине. Проделав такую процедуру однажды, мы всегда сможем изображать силы в виде отрезков, потому что уравнение типа

F=kr

(где k — некоторая постоянная) имеет вполне определенный смысл. Возможность представлять силу отрезком сулит нам большие выгоды, потому что, изобразив отрезок или стрелку, можно не заботиться о координатных осях. При этом, конечно, всегда можно быстро подсчитать, как изменяются составляющие вектора при поворотах осей, потому что дело сводится к про­стому геометрическому построению.