Скалярное произведение векторов

Давайте еще немного займемся свойствами векторов. Легко понять, что длина шага в пространстве одинакова во всех ко­ординатных системах. Следовательно, если какому-то шагу r соответствуют составляющие х, у, z в одной системе координат и составляющие х', у', z' в другой системе, то расстояние r= |r| одно и то же в обеих системах. Сначала мы, конечно, долж­ны ввести два расстояния

а затем проверить, что эти обе величины равны. Чтобы не во­зиться с квадратным корнем, будем сравнивать квадраты рас­стояний. Мы должны, таким образом, показать, что

x²+у²+ z²=x'²+у'²+ г'². (11.17)

Подставив в это уравнение определяемые соотношением (11.5) значения ж', у', z', мы увидим, что это действительно так. Зна­чит, кроме уже изученных нами векторных уравнений, суще­ствуют еще какие-то соотношения, верные в любой системе ко­ординат.

Незаметно мы получили новый тип величин. Мы можем по­строить функцию х, у и z, называемую скалярной функцией,— величину, которая не имеет направления, и одинакова в обеих системах координат. Из вектора можно построить скаляр. Хорошо бы найти общее правило для этого построения. Соб­ственно говоря, мы уже нашли это правило: надо возвести в квадрат каждую из составляющих вектора и сложить их. Опре­делим теперь новую величину, которую обозначим а • а. Это не вектор, а скаляр; это число, одинаковое во всех координатных системах и определяемое как сумма квадратов трех составляю­щих вектора:

a • a =a²_x+ a²_y+a²_z. (11.18)

Вы спросите: «В какой системе координат?» Но раз это число не зависит от системы координат, то ответ одинаков в любой системе координат. Мы имеем дело с новым видом величины, с инвариантом, или скаляром, полученным «возведением вектора в квадрат». Если теперь определить, исходя из векторов а и b, величину

a • b =a_xb_x+a_yb_y+ a_zb_z, (11.19)

то можно убедиться, что эта величина совпадает в штрихованной и нештрихованной системах координат. Чтобы доказать это, заметим, что это верно для величин а • а, b • b и с • с, где с=а+b. Сумма квадратов (a_x+b_x)²+(a_y+b_y)²+(a_z +b_z)² —ин­вариант:

(а_x+b_x)²+(а_y+b_y)2 +(а_z+ b_г)² = (а_x'+b_x')² + (a_y'+ b_у')²+(a_z, +b_z')². (11.20) Раскроем скобки в обеих сторонах этого уравнения. Перекрест­ные произведения дадут нам выражения типа (11.19), а суммы квадратов составляющих а и b — выражения (11.18). Инва­риантность слагаемых типа (11.18) приводит к инвариантности перекрестных произведений типа (11.19).

Величина а • b называется скалярным произведением двух векторов а и b и имеет много интересных и полезных свойств. Например, легко доказать, что

а • (b + c)= а • b + а • с. (11.21)

Есть еще очень простой геометрический способ вычисления а • b, при котором не надо определять составляющих а и b; просто а • b есть произведение длин векторов а и b на ко­синус угла между ними. Почему? Предположим, что мы выбрали такую систему координат, в которой вектор а направлен вдоль оси х; в этом случае вектор а имеет единственную ненулевую составляющую а_х, которая равна длине вектора а. Таким обра­зом, уравнение (11.19) сводится в этом случае к a • b =a_xb_x, что равно произведению длины вектора а на составляющую векто­ра b по направлению а, которая в свою очередь равна b cosq, т. е.

а • b = ab cosq.

Таким образом, в этой частной системе координат мы дока­зали, что a • b равно произведению длин векторов а и b на коси­нус угла между ними 9. Но если это верно в одной системе коор­динат, то это верно и во всех системах, потому что а • b не зависит от выбора системы координат.

Что хорошего может дать нам эта новая величина? Нужно ли физику скалярное произведение? Да, оно необходимо ему постоянно. Например, в гл. 4 мы назвали кинетической энер­гией величину ¹/₂mv², но если частица движется в простран­стве, то нужно возвести в квадрат отдельно составляющие ско­рости х, у и z, так что формулу для кинетической энергии можно записать в виде

к.э.=¹/₂m(v • v )=¹/₂m(v²_x+ v²_y+v²_z). (11.22)

Энергия не имеет направления. Импульс же направление имеет, это — вектор, и он равен произведению массы на вектор ско­рости.

Другим примером скалярного произведения может служить работа, произведенная силой при перемещении какого-нибудь предмета с одного места на другое. Мы еще не дали определения работы, она равна изменению энергии, прибавке в весе, после того как сила F поработает вдоль пути s:

Работа= F • s. (11.23)

Иногда целесообразно говорить о составляющей вдоль опре­деленного направления (например, вдоль вертикали, потому что это направление силы тяжести). Для этого удобно ввести еди­ничный вектор вдоль интересующего нас направления. Под еди­ничным вектором мы будем понимать вектор, скалярное про­изведение которого на себя равно единице. Пусть это будет вектор i; тогда i • i=l. Скалярное произведение i • a равно acosq, т. е. оно равно составляющей вектора а вдоль направле­ния i. Это наилучший способ получить составляющую вектора. Поступая так, мы можем найти все составляющие вектора и получить забавную формулу.

Предположим, что нам задана какая-то система координат х, у и z. Введем три вектора: i — единичный вектор вдоль оси х,

j — единичный вектор вдоль оси y и к — единичный вектор вдоль оси z. Ясно, что i • i =l. Чему же равно произведение i • j? Если угол между векторами прямой, то их скалярное произве­дение равно нулю. Таким образом,

i • i =1,

i • j = 0, j • j =1, (11.24) i • k =0, j • k =0, k • k =l.

Используя эти свойства векторов i, j, k, можно записать любой вектор а в виде

a=a_x • i + a_y • j + a_z • k. (11.25)

Таким образом, можно от составляющих вектора легко перейти к самому вектору.

Мы изучили далеко не все свойства векторов. Однако, прежде чем углубиться в этот вопрос, научимся сперва применять обсужденные сейчас идеи в физике. И тогда, когда мы хорошо овладеем основным материалом, будет легче продвинуться даль­ше, не впадая в ошибки. Позднее мы увидим, что удобно опре­делить еще одно произведение двух векторов, которое назы­вается векторным произведением и записывается в виде а X b. Однако обсуждение этого вопроса лучше отложить до следующей главы.

* В книгах вектор обозначается полужирной буквой; в рукописях же используется стрелка: