Законы Ньютона в векторной записи

Чтобы записать законы Ньютона в векторной форме, мы должны поучиться еще кое-чему и определить вектор ускоре­ния. Этот вектор равен производной по времени вектора скоро­сти, причем легко показать, что его составляющие равны вто­рым производным х, у и z no t:

После этого законы Ньютона можно записать таким образом: или ma = F, (11.13)

m(d²r/dt²)=F (11.14)

Фиг. 11.6. Перемещение частиц за малое время Dt=t₂-t₁,.

Теперь задача о доказательстве инвариантности законов Нью­тона относительно вращений сводится к следующему: нужно доказать, что а (ускорение) есть вектор; это мы уже сделали. Затем нужно доказать, что F (сила) есть вектор; это мы предпола­гаем. Следовательно, если сила есть вектор, то уравнение (11.13) будет выглядеть одинаково во всех системах координат, ибо нам известно, что ускорение тоже вектор. Запись уравнений в виде, не содержащем явно х, у, z, привлекательна тем, что нам нет необходимости выписывать три уравнения каждый раз, ког­да мы хотим написать законы Ньютона или другие законы фи­зики. Мы записываем то, что выглядит как один закон, хотя фактически, конечно, это три закона для каждой оси системы координат, потому что любое векторное уравнение содержит в себе утверждение, что все составляющие равны.

Тот факт, что ускорение — это скорость изменения вектора скорости, помогает найти ускорение в любых, казалось бы, трудных обстоятельствах. Предположим, например, что части­ца, двигаясь по какой-то сложной кривой (фиг. 11.7), имеет в момент t₁скорость v₁, а несколько позже, в момент t₂,скорость v₂. Чему равно ускорение? Ответ: ускорение равно разности скоростей, деленной на малый промежуток времени; значит, нужно знать разность скоростей. Как же найти эту разность? Чтобы найти разность двух векторов, проведем вектор через концы векторов v₂ и v₁, иначе говоря, начертим вектор D в ка­честве разности этих двух векторов. Верно? Нет! Мы можем поступать так только тогда, когда начала векторов расположе­ны в одной точке! Вычитать векторы, приложенные к разным точкам, бессмысленно. Остерегайтесь этого! Чтобы вычесть векторы, нужно начертить другую схему. На фиг. 11. 8 векторы v₁ и v₂ перенесены параллельно и равны их двойникам, изоб­раженным на фиг. 11.7.

Фиг. 11.7. Криволинейная траек­тория.

Фиг. 11.8, Диаграмма для вычисления ускорения.

Теперь можно поговорить об ускорении. Ускорение, конечно, просто равно Dv/Dt. Интересно заметить, что разность скоростей можно разделить на две части: можно представить себе, что ускорение состоит из двух составляющих: Dv_║ — вектора, параллельного касательной к пути, и вектора Dv_┴, перпендикулярного к этой касательной. Эти векторы пока­заны на фиг. 11.8. Касательное к пути ускорение равно, есте­ственно, лишь изменению длины вектора, т. е. изменению вели­чины скорости v:

a_║=dv/dt. (11.15)

Другую, поперечную составляющую ускорения легко вычис­лить, взглянув на фиг. 11.7 и 11.8. За короткое время Dt изме­нение угла между v₁ и v₂ равно малому углу Dq. Если величина скорости равна v, то

Dv_┴=vDq, а ускорение а равно

а_┴=v(dq/dt).

Теперь нам нужно знать Dq/Dt. Эту величину можно найти так: если в данный момент кривую можно приблизительно заменить окружностью радиусом R, то, поскольку за время Dt частица пройдет расстояние s=vDt,изменение угла равно

Dq=v(Dt/R) или Dq/Dt=v/R.

Таким образом, как мы уже установили ранее,

a=v²/R. (11.16)