Числовым рядом называется формальное выражение вида
,
где число слагаемых неограниченно. Выражение называется общим, или -ным, членом ряда. Сумме бесконечного числа слагаемых нужно придать смысл. Делается это следующим образом. Назовем –ной частичной суммой ряда сумму первых слагаемых
.
Суммой ряда называется предел частичных сумм
.
Ряд с конечной суммой называется сходящимся. Если предела частичных сумм не существует, говорят, что ряд расходится.
Найти сумму ряда точно почти никогда не удается. В действительности важно знать, сходится ли ряд вообще, или нет. Именно этот вопрос нас и будет интересовать.
Необходимое условие сходимости ряда
.
Ряд называется знакоопределенным, если все слагаемые имеют один знак. Имеется несколько простых достаточных условий сходимости знакоположительных рядов.
Признак Даламбера. Пусть существует предел
.
Тогда, если , то ряд сходится; если , то ряд расходится.
Признак Коши (радикальный). Пусть существует предел
.
Если , то ряд сходится, если , то ряд расходится.
|
|
Признак Коши (интегральный). Если найдется такая монотонно убывающая положительная функция , что для всех , то тогда из сходимости интеграла следует сходимость ряда , а из расходимости интеграла следует расходимость ряда .
Иногда для исследования сходимости знакоположительного ряда удобно использовать признаки сравнения. Если и ряд сходится, то и сходится. Если и ряд расходится, то и расходится.
Из признаков сходимости знаконеопределенных рядов нам потребуется признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Если мы имеем ряд
,
где , и при этом , то ряд сходится. Для рядов, удовлетворяющих условию Лейбница (то есть знакочередущихся рядов, у которых монотонный предел модуля –го члена равен нулю), имеется следующая полезная оценка:
,
то есть остаток ряда, начиная с произвольного члена , по модулю не превосходит этого члена.
Задача 4.5.а Исследовать сходимость ряда
Решение. Имеем , , и, по признаку Даламбера,
Следовательно, ряд сходится.
Задача 4.5.б Исследовать сходимость ряда .
Решение. Имеем: , и, по радикальному признаку Коши,
Следовательно, ряд сходится.
Литература.
1. Щипачев В.С. Высшая математика. Учебник для вузов. - М., Высшая школа, 2001.
2. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Учебник. 2 издание. Юнити - Дана, 2002.
3. Г.Я Волошин- Курс высшей математики для экономистов. Учебное пособие. М.2003.
4. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников – Высшая математика в упражнениях и задачах.
Част 1. М. «В.Ш.» 1999г.