Числовые и функциональные ряды

Числовым рядом называется формальное выражение вида

где число слагаемых неограниченно. Выражение называется общим, или -ным, членом ряда. Сумме бесконечного числа слагаемых нужно придать смысл. Делается это следующим образом. Назовем –ной частичной суммой ряда сумму первых слагаемых

Суммой ряда называется предел частичных сумм

Ряд с конечной суммой называется сходящимся. Если предела частичных сумм не существует, говорят, что ряд расходится.

Найти сумму ряда точно почти никогда не удается. В действительности важно знать, сходится ли ряд вообще, или нет. Именно этот вопрос нас и будет интересовать.

Необходимое условие сходимости ряда

Ряд называется знакоопределенным, если все слагаемые имеют один знак. Имеется несколько простых достаточных условий сходимости знакоположительных рядов.

Признак Даламбера. Пусть существует предел

Тогда, если , то ряд сходится; если , то ряд расходится.

Признак Коши (радикальный). Пусть существует предел

Если , то ряд сходится, если , то ряд расходится.

Признак Коши (интегральный). Если найдется такая монотонно убывающая положительная функция , что для всех , то тогда из сходимости интеграла следует сходимость ряда , а из расходимости интеграла следует расходимость ряда .

Иногда для исследования сходимости знакоположительного ряда удобно использовать признаки сравнения. Если и ряд сходится, то и сходится. Если и ряд расходится, то и расходится.

Из признаков сходимости знаконеопределенных рядов нам потребуется признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Если мы имеем ряд

где , и при этом , то ряд сходится. Для рядов, удовлетворяющих условию Лейбница (то есть знакочередущихся рядов, у которых монотонный предел модуля –го члена равен нулю), имеется следующая полезная оценка: