Производной функции в точке называется предел
.
Наряду с обозначением для производной используется еще обозначение .
Производные основных элементарных функций приведены в следующей таблице.
Имеется два основных приема дифференцирования функций
1) Формуладифференцирования произведения и частного двух функций
,
.
2) Формула дифференцирования композиции (или сложной функции)
.
В задачах 2.2.а-2.2.з для функции требуется найти производную .
Задача 2.2.а .
.
Задача 2.2.б .
Задача 2.2.в .
Задача 2.2.г .
Задача 2.2.д .
Решение. При дифференцировании этой функции удобно воспользоваться приемом, который называется логарифмическим дифференцированием. Прежде чем вычислять производную, найдем логарифм функции :
Теперь продифференцируем правую и левую часть полученной формулы, а затем приравняем соответствующие производные. Имеем:
;
Отсюда,
Задача 2.2.е .
Решение. Здесь также удобно воспользоваться приемом логарифмического дифференцирования.
|
|
;
откуда следует, что
Задача 2.2.ж , .
Решение. Функция задана в параметрической форме, поэтому следует воспользоваться формулой для параметрической производной:
Получаем:
,
,
откуда
Задача 2.2.з .
Решение. Функция задана неявным уравнением. Чтобы найти производную , продифференцируем тождество . Получаем:
Перегруппируем слагаемые, выделяя члены, содержащие производную :
откуда следует, что