2015-05-13
3386
Имеется три типа разрывов функций.
а) Устранимый разрыв, когда существует предел функции 
в точке 
, но он не равен значению функции в предельной точке
.
б) Разрыв первого рода, когда в точке существует предел слева и предел справа, однако они не равны между собой
.
в) Все остальные виды разрыва называются разрывами второго рода.
Задачи 2.3.а-2.3. б. Найти точки разрыва функций
, 
и определить тип разрыва. Сделать схематический чертеж.
Решение. Функция 
может иметь разрыв в точках 
, 
. В точке в пределе 
имеет место соотношение 
, то есть функция 
становится неограниченной в окрестности . Поскольку 
при 
, и 
при 
, то функция стремится к 
при 
, и к 
при 
.
В точке ситуация сложнее. При 
в пределе получаем 
, то есть мы имеем дело с неопределенностью. Чтобы найти предел 
, воспользуемся правилом Лопиталя:
.
Получаем: 
Следовательно, 
В случае правостороннего предела ситуация проще:
Таким образом, в точке также имеет место разрыв второго рода.
Схематическое поведение графика 
изображено на рисунке.
0 7 10 
Функция может иметь разрывы только в точках и . В окрестности точки функция 
имеет разрыв второго рода. При 
получаем, что 
, а при получаем, что 
.
Найдем пределы при и при . Вновь используем правило Лопиталя. Пусть сначала .
При вычисления аналогичны:
Следовательно, у функции в точке имеется устранимый разрыв. Эскиз графика изображен на рисунке.
6 7 8 10
