2015-05-13
285
Задача 2.4. Исследовать функцию 
с помощью производных первого и второго порядка и построить её график.
Решение. Исследование функции производится по следующей схеме.
1. Общие особенности функции: область определения, непрерывность и точки разрыва, вертикальные асимптоты, четность – нечетность, периодичность.
В нашем случае область определения функции
;
прямая 
– вертикальная асимптота, функция общего вида.
2. Нули функции и интервалы знакопостоянства.
Применим метод интервалов для исследования знаков функции.
- + - +
7 10 20 
3. Возрастание – убывание функции, точки экстремума. Этот пункт связан с исследованием знаков первой производной функции. Имеем:
Корни квадратного многочлена 
равны
Знаки 
определим, используя метод интервалов.
+ - - +
8.6 20 31.4
max min 
Точки 
и 
являются точками локального максимума и минимума соответственно.
4. Выпуклость – вогнутость функции, точки перегиба. Данный пункт связан с исследованием второй производной функции. Если 
, то функция выпукла вверх (как функция 
), а если 
, то функция выпукла вниз (как функция 
).
|
|
|
+ 
20 
5. Наклонные асимптоты функции.
Наклонная асимптота функции (если она существует) есть такая прямая 
на плоскости 
, к которой “прижимается” график функции 
при 
, то есть 
. Коэффициенты 
и 
определяются из соотношений
, 
.
В нашем случае
Следовательно, прямая 
является наклонной асимптотой функции.
 |
