Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Число, характеризующее степень возможности наступления данного события, называется его вероятностью.

Рассмотрим такие эксперименты, в которых можно выделить конечное число «простых» событий, которые являются несовместными (два таких исхода не могут произойти одновременно), равновозможными (по условиям эксперимента нет оснований считать, что какие-либо их них будут происходить чаще, чем другие) и образуют полную группу (эти события являются единственно возможными и несовместными исходами испытания). Такие события назовем элементарными событиями (исходами, случаями).

Пусть – число возможных исходов данного опыта, – число его исходов, при которых происходит событие (назовем такие исходы благоприятствующими событию). Тогда вероятность события определяется как отношение числа благоприятствующих исходов к числу всех возможных исходов:

. (2.1)

Пример 8. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найдите вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Обозначим через событие – набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Пример 9. В урне находятся 25 белых и 5 черных шаров. Из урны наудачу извлекаются 9 шаров. Найдите вероятность того, что среди девяти извлеченных шаров имеется хотя бы один шар черного цвета.

Решение. Всего в урне 30 шаров. Будем считать, что все они пронумерованы. Эти 30 шаров разделяются на две группы. Первая группа состоит из 25-ти белых шаров, вторая группа состоит из 5-ти черных шаров. Эксперимент состоит в изъятии наудачу 9-ти шаров из 30-ти шаров (их порядок не имеет значения). Элементарным событием в этом эксперименте является любое сочетание из 30-ти элементов по 9. Тогда число таких элементарных событий равно:

Событие A – среди девяти вынутых шаров имеется хотя бы один черный шар. Событие означает, что нет ни одного черного шара среди вынутых, т. е. все 9 шаров – белые.

;

Поэтому .

Пример 10. В лотерее 2000 билетов. На один билет падает выигрыш 100 руб., на четыре билета – выигрыш по 50 руб., на десять билетов – выигрыш по 20 руб., на двадцать билетов – выигрыш по 10 руб., на 165 билетов – выигрыш по 5 руб., на 400 билетов – выигрыш по 1 руб. Остальные билеты невыигрышные. Какова вероятность выиграть по билету не менее 10 руб.?

Решение:

Здесь , т. е. .

Вероятность суммы двух событий можно найти по теореме сложения вероятностей:

. (2.2)

Если события А и В несовместны, то есть не могут произойти одновременно, то вероятность их произведения равна нулю, и теорема сложения приобретает более простой вид:

. (2.3)

Вероятность произведения событий определяется по теореме умножения вероятностей:

, (2.4)

где – так называемая условная вероятность события В, то есть вероятность В при условии, что А произошло.

Если осуществление события А не изменяет вероятности события В, то А и В называются независимыми, и вероятность их произведения равна произведению вероятностей сомножителей:

. (2.5)

Пример 11. Два стрелка стреляют по одной мишени. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для стрелков соответственно равны p 1 = 0,7 и p 2 = 0,8. Найдите вероятность того, что при одном залпе в мишени будет: а) одно попадание; б) не менее одного попадания.

Решение. Случайные события: A – в мишени одно попадание,
B – в мишени не менее одного попадания. Введем случайные события:
C 1 – в мишень попал первый стрелок, C 2 – в мишень попал второй стрелок. Тогда

а) .

В формуле случайные события-слагаемые несовместны, а случайные события-сомножители независимы, так как вероятность попадания в мишень каждого из стрелков не зависит от результата другого стрелка. Поэтому

б) событие B равно: .

Поэтому

Вероятность события B можно найти также, вычислив сначала вероятность противоположного события . Т. к. ,
то .

Тогда .

По теореме умножения для трех событий получаем формулу:

Эту формулу можно обобщить и для n событий.

Пример 12. В библиотеке на стеллаже в случайном порядке расставлены десять учебников по экономике и пять – по математике. Библиотекарь наудачу берет три учебника. Найдите вероятность того, что: а) все три учебника по математике; б) хотя бы один из взятых учебников будет по математике.

Решение. Введем события А – все три учебника по математике,
В – хотя бы один из взятых учебников будет по математике, – учебник по математике, .

а) Тогда, . События зависимы. Значит вероятность события равна:

б) Рассмотрим противоположное событие к событию В. Запишем событие .

;

Пример 13. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и набирает ее наудачу. Вычислите вероятность того, что он наберет нужный номер не более чем за три попытки.

Решение. Случайное событие A – абонент дозвонился не более чем за три попытки набора номера. Пусть случайное событие Ai – абонент дозвонился при i -м наборе номера (i = 1, 2, 3).

Вероятность события A можно найти, вычислив сначала вероятность противоположного события и используя формулу .

Случайное событие – абонент не дозвонился за три набора номера – есть произведение трех событий: , поэтому

Но тогда, .

Пример 14. Брошены две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.

Решение. На выпавшей грани первой игральной кости может появиться одно очко, два очка, …, шесть очков. Аналогичные шесть элементарных исходов возможны при бросании второй кости. Каждый из исходов бросания первой кости может сочетаться с каждым из исходов бросания второй кости. Таким образом, общее число возможных элементарных исходов испытания равно 6 ∙ 6 = 36. Эти исходы образуют полную группу и в силу симметрии костей равновозможны.

Благоприятствующими интересующему нас событию (хоты бы на одной грани появится шестерка, сумма выпавших очков – четная) являются следующие пять исходов (первым записано число очков, выпавших на первой кости, вторым – число очков, выпавших на второй кости; далее найдена сумма очков):

1) 6, 2; 6 + 2 = 8; 2) 6, 4; 6 + 4 = 10; 3) 6, 6; 6 + 6 = 12; 4) 2, 6; 2 + 6 = 8;
5) 4, 6; 4 + 6 = 10.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных элементарных исходов:

Пример 15. Найдите вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной кости, если на гранях двух других костей выпадут числа очков, не совпадающие между собой и не равные шести.

Решение. Общее число элементарных исходов испытания по правилу умножения равно: .

Число исходов, благоприятствующих появлению шестерки на одной грани и различного числа очков (не равного шести) на гранях двух других костей, равно: .