Закон распределения

Случайной величиной называют числовую величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Законом распределения случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Для дискретной случайной величины его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Ряд распределения дискретной случайной величины – это таблица, в первой строке которой перечислены все возможные значения случайной величины, а во второй – вероятности, с которыми она принимает эти значения:

			…
			…

Сумма вероятностей должна при этом равняться числу 1.

Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2,..., n с вероятностями

, (3.1)

где .

Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа наступлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p.

Пример 30. Составить закон распределения вероятностей числа появлений события А в трех независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,6.

Решение. Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,6, следовательно, вероятность того, что событие не появится в одном испытании .

В трех независимых испытаниях событие А может появиться либо 3 раза, либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения таковы: . Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

Искомый закон распределения:

Контроль: 0,216 + 0,432 + 0,288 + 0,064 = 1.

Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2,..., m,... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

. (3.2)

Закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона при . Так как при этом вероятность p события A в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.

Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2,..., m,... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

где (3.3)

Вероятности образуют геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q (отсюда и название «геометрическое распределение»).

Случайная величина, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число m испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью p наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.

Пример 32. Вероятность поражения цели равна 0,6. Производится стрельба по мишени до первого попадания (число патронов не ограничено). Требуется составить ряд распределения числа сделанных выстрелов.

Решение. Случайная величина X – число сделанных выстрелов – имеет геометрическое распределение с параметром p = 0,6. Ряд распределения X имеет вид:

Х				…	m	…
Р	0,6	0,24	0,096	…		…

Дискретная случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения

с вероятностями

. (3.4)

Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина X – число объектов, обладающих данным свойством, среди n объектов, случайно извлеченных (без возврата) из совокупности N объектов, M из которых обладают этим свойством.

Пример 33. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

Решение. Случайная величина число стандартных деталей среди отобранных деталей – имеет следующие возможные значения: .

Найдем вероятности возможных значений X:

.

Составим искомый закон распределения:

Контроль: .