Модель 2

Предположим теперь, что болезнь не слишком продолжительна и выздоровевшие особи получают иммунитет. Пусть по-прежнему n и a — соответственно число незараженных и зараженных в начальный момент времени, x(t) и y(t) — число незараженных и зараженных в момент t, a z(t) — число выздоровевших в момент t. Тогда для всех моментов времени из интересующего нас промежутка 0£ t £T будет иметь место равенство

x+y+z=n+a

С другой стороны, для функций x(t), y(t), z(t) мы можем написать систему:

где b - коэффициент передачи инфекции, а g — коэффициент выздоровления.

Первое уравнение в данной системе ничем не отличается от предыдущего случая. Второе уравнение характеризует изменение числа заболевших особей y(t). Это изменение складывается из прибыли (bxy) и убыли (-gy), происходящей от того, что часть больных выздоравливает и получает иммунитет. Эта часть составит приращение величины выздоровевших особей z(t), что и отражается третьим уравнением.

Из наших предположений вытекают начальные условия для системы:

x(0)=n, y(0)=a, z(0)=0

Рассмотренные модели можно усложнить. Можно, например, учесть естественную смертность или рождаемость, если время течения болезни соизмеримо со временем жизни одного поколения. Тогда справа в уравнениях системы появятся слагаемые вида e₁х e₂у e₃z. Если больные особи не способны к размножению, то во втором уравнении соответствующее слагаемое (e₂y) будет отсутствовать. Можно учесть смерть от заболевания (если болезнь смертельна), тогда во втором уравнении появится слагаемое (-g₁y), где g₁ — коэффициент смертности от болезни. Можно учесть и другие особенности популяции, подверженной эпидемии.

Задание:

1.Решите систему уравнений. Учитывая, что коэффициент передачи заболевания b=0.01, коэффициент выздоровления g=0.1; в начальный момент времени количество здоровых особей — 100, зараженных (больных) — 20, выздоровевших —0.

2.Постройте графики характеризующие развитие заболеваемости в популяции, дайте им объяснения.

3.Решите систему, принимая во внимание то, что заболевшие особи не способны к размножению, коэффициент рождаемости у здоровых особей e1=0.01, у выздоровевших e2=0.005; а смертность от болезни составляет 1%.

4. Учтите смертность от болезни (коэффициент смертности 0,01)