Модель гомогенного течения

Модель гомогенного течения основана на том, что двухфазная система рассматривается как псевдооднородная жидкость, к которой применимы обычные законы гидродинамики. Скорость движения и физические свойства такой жидкости по соответствующим данным для составляющих её фаз. В общем случае, вследствие различия скоростей, температур и других параметров состояния системы, между фазами происходит взаимный обмен количеством движения, энергией и массой. Если эти процессы протекают достаточно быстро, как чаще всего и бывает при небольших размерах дисперсных включений, то принимают, что между фазами устанавливается термодинамическое равновесие.

В гомогенной модели принимается, что сплошная и дисперсная фазы перемещаются с одинаковой скоростью равной средней скорости смеси, определяемой из выражения (13.6). Входящая в это выражение плотность смеси при равенстве скоростей фаз определяется исходя из того, что удельный объём смеси v является аддитивной функцией удельных объёмов фаз смеси, т.е. используются соотношения (13.7). С учётом этого соотношения скорость движения смеси будет описываться выражением

w _ср =

где v_сд = v_д – v_с – изменение объёма при фазовом превращении сплошной фазы в дисперсную.

Поскольку w _ср = G /(F r), то изменение давления вследствие ускорения потока равно

В общем случае по длине канала изменяются давление, массовая концентрация дисперсной фазы (при наличии фазовых превращений), а также площадь поперечного сечения. Выражая плотность через объёмы с помощью (13.7) и проводя дифференцирование, получаем:

Изменение удельных объёмов фаз по высоте обусловлено изменением давления в направлении движения. Поэтому последнее уравнение можно преобразовать к виду:

(13.19)

Первое слагаемое уравнения (13.19), заключённое в фигурные скобки, характеризует влияние фазового превращения, второе – сжимаемость среды при изменении давления, третье – изменение сечения канала на падение давления, обусловленное ускорением потока.

Изменение давления за счёт трения (d p / d x)_тр = (P/ F) t₀ можно выразить через скорость движения потока с помощью соотношения t₀ = l(r w ²/8), где l - гидравлический коэффициент трения:

Для круглого канала диаметром D имеем P = p D, F = p D ²/4 и с учётом (13.6)

Заменяя r с помощью (13.7), получаем:

(13.20)

Величину g rsinb, входящую в уравнение (13.18) и определяющую градиент давления за счёт силы тяжести (d p / d x)_т, можно записать с учётом (13.7) следующим образом:

(13.21)

Подстановка выражений (13.19) – (13.21) в (13.18) после преобразований даёт:

(13.22)

Слагаемые в числителе уравнения (13.22) учитывают, соответственно, вклад трения, изменения массовой концентрации дисперсной фазы в направлении потока, изменения площади поперечного сечения канала и силы тяжести в градиент давления. Выражение, стоящее в квадратных скобках знаменателя, обратно пропорционально скорости распространения упругих колебаний в двухфазной среде (скорости звука). Поэтому уравнение (13.22) можно представить в виде:

(13.23)

где Ма = w _ср/ w _з – число Маха, определяющее отношение скорости потока к скорости распространения упругих колебаний (см. материалы гл.1 и гл. 5).

Величина w _з равна:

При определении производной d a/ d x необходимо учитывать, что массовая концентрация дисперсной фазы (например, пара в парожидкостной смеси) изменяется по высоте как за счёт изменения энтальпии i, вызванного подводом теплоты извне, так и за счёт изменения температуры, обусловленного изменением давления. Поэтому

(13.24)

Связь между величинами i иa определяется соотношением::

i = (1 - a) i _c + a i _д = i _c + a i _сд. (13.25)

где i _c и i _д - энтальпии сплошной и дисперсной фаз при заданном давлении (температуре), соответственно; i _сд- изменение энтальпии при фазовом превращении сплошной фазы в дисперсную.

Отсюда

Для системы жидкость – пар i _c_д– теплота парообразования.

Производная (¶ t /¶ p) _i находится из уравнения состояния f (p, r, T) = 0. Производная (¶a/¶ t) _i выражает изменение массовой концентрации дисперсной фазы, обусловленной изменением температуры при адиабатических условиях. Для систем жидкость – пар эта производная характеризует вклад процесса самоиспарения – парообразования, происходящего при адиабатическом понижении температуры кипения, вызванного понижением давления. С учётом (13.24) уравнение (13.23) принимает вид:

(13.26)

Значения v _с и v _сд, а также производные удельных объёмов фаз по давлению, входящие в приведённые выше уравнения, находятся по диаграммам или уравнениям состояния компонентов. Коэффициент трения рассчитывается по обычным формулам для однофазного потока. При этом для расчёта числа Рейнольдса вводится средняя скорость двухфазного потока и эффективная вязкость смеси, под которой понимается вязкость однородной жидкости с такими же реологическими характеристиками, как у смеси.

Вследствие движения сплошной фазы относительно частиц дисперсной фазы скорость деформации сплошной фазы вблизи частицы оказывается больше, чем вдали от неё (см. гл.4 и гл. 8). Поэтому диссипация энергии в двухфазном потоке превышает диссипацию энергии в однородной жидкости, образующей сплошную фазу, даже если вязкость и плотность последней выше, чем у дисперсной фазы. Теоретический расчёт диссипации энергии в сплошной фазе, окружающей твёрдую сферическую частицу, приводит к выражению

где e_v – диссипированная энергия, приходящаяся на единицу объёма потока; r – радиус частицы; R – радиус сферического объёма потока, приходящегося на одну частицу (радиус ячейки); K ² – сумма квадратов компонентов тензора скоростей деформации сплошной фазы (см. гл.7); h_с – коэффициент динамической молекулярной вязкости сплошной среды.

Величина (r / R)³ представляет собой объёмную концентрацию дисперсной фазы j. При малых значениях j, т.е. для не очень концентрированных суспензий или газовзвесей, в последней формуле можно пренебречь слагаемыми, содержащими r / R в степенях, превышающих 3. Тогда

Для дисперсной фазы, состоящей из сферических частиц, независимо от агрегатного состояния фаз методами статистической механики получено следующее выражение для определения эффективной вязкости смеси

(13.27)

где h_д – коэффициент молекулярной динамической вязкости дисперсной фазы.

Отсюда для случая твёрдых частиц дисперсной фазы (h_д >> h_с) получается формула Эйнштейна

h = h_с(1 + 2,5 j), (13.28)

а для газовых пузырьков (h_с >> h_д)

h = h_с(1 + j) (13.29)

Приведённые формулы хорошо согласуются с экспериментальными данными для двухфазных систем с однородными сферическими частицами при их концентрации j £ 10%. В качестве примера на рис. 13.1 приведено сопоставление формулы Эйнштейна и экспериментальных значений вязкости суспензий, полученных различными авторами для широкого диапазона жидкостей, размеров и материалов твёрдых частиц (данные собраны Д. Томасом). Здесь же приведена кривая, полученная теоретически Дж. Бэтчелором

h = h_с(1 + 2,5 j + 6,2 j²). (13.30)

Рис. 13.1. Зависимость эффективной вязкости суспензий от объёмной концентрации частиц дисперсной фазы: 1 – по экспериментальным данным, 2 – по формуле (13.30), 3 – по формуле Эйнштейна

Для области малых концентраций формула Эйнштейна подтверждается и в случае полидисперсной твёрдой фазы. В концентрированных системах, как можно видеть из данных рис.13.1, эффективная вязкость больше рассчитанной по формуле (13.27). Такие системы нельзя рассматривать как ньютоновские жидкости.

Эффективная вязкость двухфазных потоков в случае частиц неправильной формы зависит от их ориентации в потоке. Для частиц, имеющих форму эллипсоида вращения с отношением полуосей a / b = p (полуось a > b и ориентирована в направлении потока), справедливы формулы:

o при 1 < p <1,7

o при p >> 1

где k – коэффициент в формуле

h = h_с(1 + k j).

Таким образом, для вытянутых частиц (р ® ¥) значение k приближается к 2. Следовательно, увеличение вязкости двухфазных систем по сравнению с вязкостью сплошной фазы колеблется от 2,5jh_с для сферических частиц до 2jh_с для вытянутых частиц.

Использование эффективной вязкости при определении коэффициентов трения даёт приемлемые результаты в случае ламинарного режима течения. При турбулентном режиме из-за больших скоростей деформаций лучшие результаты получаются, когда применяется число Рейнольдса, рассчитываемое по предельной вязкости при больших скоростях сдвига.

Пример 13.1. Смесь воздух – вода течёт по гладкой горизонтальной трубе (внутренний диаметр 20 мм). Массовая скорость смеси 1791 кг/(м²×с), а массовая концентрация воздуха (дисперсной фазы) = 0,001. Физические свойства сред: v_д = = 0,84 м³/кг; v_с = 1×10^-3 м³/кг; h_д = 1,789×10^-5 Па×с; h_с = 1,002×10^-3 Па×с. Коэффициент гидравлического трения для однофазного течения задаётся формулой l= = 0,186/Re^0,2. Требуется определить параметры потока, а также градиент давления в трубе.

Используя формулу (13.1), находим массовый расход смеси, а затем по соотношениям (13.2) – массовые расходы воздуха и воды:

М = mF = (p d ²/4) m = 3,14×0,02²×1791/4 = 0,5624 кг/с;

М _д = a M = 0,001×0,5624 = 5,624×10^-4 кг/с;

М _с = (1 - a) М = 0,999×0,5624 = 0,5618 кг/с.

Плотности компонентов находятся из соотношения r = 1/v. тогда r_д = 1/0,84 = = 1,1905 кг/м³; r_с = 1/1×10^-3 = кг/м³. Следовательно, объёмные расходы компонентов составляют:

V _д = М _д/r_д = 5,624×10^-4/1,1905 = 4,724×10^-4 м³/с;

V _с = М _с/r_с = 5,618×10^-4 м³/с.

Приведённые скорости фаз равны:

w _пр.д = V _д/ F = 4,724×10^-4/0,000314 = 1,504 м/с;

w _пр.с = V _c/ F = 5,618×10^-4/0,000314 = 1,789 м/с.

Приведённая скорость смеси (она же средняя скорость) составит

w _пр = w _ср = w _пр.д + w _пр.с = 1,504 + 1,789 = 3,293 м/с.

Плотность смеси

r = 1/[(1 - a)v_c + av_д] = 1/(0,999×1×10^-3 + 0,001×0,84) = 543,77 кг/м³.

Для определения значений истинных скоростей компонентов найдём их объёмные концентрации (доли):

j = V _д/ V = 4,724×10^-4/(4,724×10^-4 + 5,618×10^-4) = 0,4568; 1 - j = 0,5432.

Тогда истинные скорости компонентов будут равны