Модель раздельного течения

В модели раздельного течения принимается, что фазы движутся раздельно, а взаимодействие между ними происходит на границе раздела. Эта модель имеет физический смысл для систем, в которых обе фазы подвижны (системы жидкость – газ и жидкость – жидкость). При подробном анализе движения двухфазной системы на основе модели раздельного течения уравнения неразрывности потока, а также балансов количества движения и энергии записываются для каждого компонента и эти шесть уравнений решаются совместно с уравнениями, описывающими закономерности взаимодействия фаз на границе между ними и со стенками канала. В рассматриваемой ниже упрощенной модели уравнения (13.15) – (13.17) применяются к системе в целом, как и в модели гомогенного течения, но учитывается различие скоростей движения фаз. Для использования этих уравнений нужно входящие в них величины выразить через соответствующие величины для образующих систему фаз. Скорость смеси находится по правилу аддитивности

w = a w _д + (1 - a) w _c,

а плотность смеси – по соотношению (13.10). Таким образом, уравнение баланса количества движения (13.16) для канала круглого сечения (P = p D, F = p D ²/4) приобретает вид:

(13.31)

Уравнение баланса энергии (13.17) преобразуется с учётом того, что изменение количества теплоты пропорционально изменению энтальпии, а изменение работы зависит от изменения кинетической энергии фаз, пропорциональной квадрату скоростей их движения. Поэтому, учитывая (13.25), уравнение баланса энергии (13.17) можно представит следующим образом:

(13.32)

Для решения системы уравнений (13.15), (13.31) и (13.32) необходимо располагать зависимостями, описывающими связь термодинамических свойств с параметрами состояния, а также соотношениями, выражающими напряжение на стенке t₀ и объёмное содержание дисперсной фазы j в зависимости от расходов фаз, их свойств и геометрических характеристик канала.

Для определения напряжения на стенке, которое пропорционально градиенту давления, обусловленному трением (d p / d x)_тр, в модели раздельного течения вводятся корреляционные параметры Ф_с² и Ф_д² (так называемые параметры двухфазности)

(13.33)

Здесь (d p / d x)_тр = 4t₀/ D – градиент давления, обусловленный трением двухфазного потока в трубе, а (d p / d x)_c и (d p / d x)_д - градиенты давления при движении в той же трубе и с тем же массовым расходом одной сплошной или одной дисперсной фазы, соответственно.

При отсутствии дисперсной фазы 1/Ф_д² = 0 и Ф_с² = 1, а при движении одной лишь жидкости, образующей дисперсную фазу, 1/Ф_с² = 0 и Ф_д² = 1. Градиенты давления при движении в канале однородной жидкости можно выразить при помощи соотношений:

где l_с и l_д – гидравлические коэффициенты трения для однофазных потоков сплошной и дисперсной фаз, соответственно.

Параметры двухфазности Ф_с² и Ф_д² являются функциями структуры потока и физических свойств фаз. Простейшая модель, используемая для установления вида этих функций, основана на представлении, что обе фазы движутся в двух раздельных цилиндрах диаметрами D _с и D _д, причём суммарная площадь поперечного сечения этих цилиндров равна площади поперечного сечения трубы диаметром D, по которой движется двухфазная смесь. Принимается также, что градиенты давления в каждом цилиндре обусловлены только трением и численно равны градиенту давления в реальном потоке. Значения градиентов давления рассчитываются по уравнениям, используемых для однофазных потоков. Согласно изложенным представлениям, объёмная концентрация компонентов в двухфазной системе определяется выражениями

j = D _д²/ D ²; 1 - j = D _с²/ D ² (13.34)

а градиент давления, обусловленный трением, находится по уравнению:

Величины w _с и w _д можно с помощью (13.8) выразить через приведённые скорости фаз, а D _с и D _д с помощью (13.34) – через диаметр трубы D. Получаем:

(13.34,а)

В этом выражении - градиенты давления, обусловленные трением при движении в трубе только дисперсной или только сплошной фаз, соответственно. Следовательно, согласно (13.33)

Ф_д² = 1/j^5/2; Ф_с² = 1/(1 - j)^5/2. (13.35)

Исключив из формул (13.35) объёмную концентрацию дисперсной фазы j, имеем

(13.35)

Этому уравнению придают более общую форму:

(13.36)

Значение n можно найти по опытным данным. Сопоставление с опытными данными показывает, что для системы жидкость – газ удовлетворительные результаты для всех режимов движения получаются при n = 3,5.

Чтобы исключить неизвестный градиент давления (d p / d x)_тр из выражений (13.33), вводится новая переменная Х ², равная отношению корреляционных параметров Ф_с² и Ф_д²:

(13.37)

Используя правую часть выражения (13.34,а), с учётом определения (13.37) получаем

j = (1 + Х ^0,8)^{- 1}. (13.38)

Расчёт с помощью приведённых уравнений гидравлического сопротивления изотермических потоков без учёта ускорения, вызываемого изменением объёма вследствие изменения давления, состоит в том, что по заданным диаметру трубы, расходам и свойствам фаз определяются значения w _пр.с и w _пр.д, а также (d p / d x)_с и (d p / d x)_д. Затем из соотношения (13.37) находится Х, а по формуле (13.38) рассчитывается объёмная концентрация дисперсной фазы j. Далее по формуле (13.35) вычисляется Ф_д² и из соотношения (13.33) находится градиент (d p/d x)_тр. Разность давлений на концах трубы определяется как произведение градиента давления на длину трубы. Если труба вертикальная или наклонная, то дополнительно рассчитывается падение давления под действием силы тяжести по формуле

где L – длина трубы.

Описанная упрощенная модель раздельного течения не учитывает влияния взаимодействия фаз на границе раздела и реальные условия движения двухфазной системы. В действительности граница раздела между фазами не является гладкой, а сами фазы не всегда можно рассматривать как однородные из-за их диспергирования. Для получения более точных результатов используют эмпирические соотношения, приводимые в специальной литературе.

Для расчёта разности давлений при движении в трубе неизотермических потоков необходимо проинтегрировать уравнение (13.31) по высоте трубы с учётом изменения входящих в него величин вследствие фазовых превращений и изменения объёма смеси с давлением. Если воспользоваться для этого приведёнными выше соотношениями, то после соответствующих постановок и преобразований уравнение (13.31) приобретает вид:

(13.33)

Изменение массовой концентрации дисперсной фазы по длине трубы d a/ d x определяется с помощью уравнения энергетического баланса (13.32). Производная (¶ j/¶ a) _p выражает изменение объёмной концентрации дисперсной фазы с изменением её массовой концентрации при постоянном давлении, а производная (¶ j/¶ р)_a - изменение объёмной концентрации дисперсной фазы с изменением давления. Значения этих производных определяются по опытным данным, например, с помощью эмпирической формулы (13.38). Во многих частных случаях уравнения (13.32) и (13.39) существенно упрощаются. Так, при постоянном тепловом потоке q по длине трубы и отсутствии механической работы d a/ d x = 4 q /(Dmi _сд).

Пример 13.2. Для условий примера 13.1 определить параметры двухфазности и градиент давления смеси.

Выпишем из условий примера 13.1 исходные данные: h_д = 1,789×10^-5 Па×с; h_с = = 1,002×10^-3 Па×с, а также необходимые результаты расчётов: r_д = 1,1905 кг/м³; w _пр.д = 1,504 м/с; r_с = 1000 кг/м³; w _пр.с = 1,789 м/с. По приведённым скоростям фаз и по их свойствам рассчитываем числа Рейнольдса фаз

Re_д = 1,1905×1,504×0,02/1,789×10^-5 = 2001,69;

Re_с = 1000×1,789×0,02/1,002×10^-3 = 35708,58,

а затем и гидравлические коэффициенты трения

l_д = 0,186/Re_д^0,2 = 0,186/2001,69^0,2 = 0,04067:

l_с = 0,186/Re_с^0,2 = 0,186/35708,58^0,2 = 0,02285.

Градиенты давления в "чистых" фазах при их одиночном движении составят

(d p / d x)_д = l_дr_д w _пр.д²/(2 D) = 0,04067×1,1905×1,504²/(2×0,02) = 2,738 Па/м;

(d p / d x)_c = l_cr_c w _пр.с²/(2× D) = 0,02285×1000×1,789²/(2×0,02) = 1828,62 Па/м.

Параметр Х равен

По формуле (13.38) находим

j = (1 + Х ^0,8)^{- 1} = (1 + 25,844^0,8)^{- 1} = 0,069.

Тогда по соотношениям (13.35) получаем:

Ф_д² = 1/j^2,5 = 1/0,069^2,5 = 798,74;

Ф_с² = 1/(1-j)^2,5 = 1/0,931^2,5 = 1,196.

Наконец, по выражениям (13.33) вычисляем градиент давления смеси

(d p / d x)_тр = (d p / d x)_д×Ф_д² = 2,738×798,74 = 2186,7 Па×с;

(d p / d x)_тр = (d p / d x)_с×Ф_с² = 1,196×1828,62 = 2186,7 Па×с.

Можно видеть, что различные методики дают и различные результаты. Прежде всего, это касается объёмных концентраций компонентов (0,069 против 0,4568 в предыдущем примере). Соответственно почти на 40% уменьшился и градиент давления смеси. Ответ на вопрос, какой же из подходов точнее, может дать, очевидно, лишь эксперимент или точное (численное) решение задачи с учётом деформации газовых пузырей.