AC
S = │ BC │∙
DE
Последовательность расчёта безотказности с использованием функций алгебры логики аналогична последовательности расчёта с использованием последовательно-параллельного соединения. При этом на основании сформулированных условий работы обычно строят схему ФАЛ или логическую матрицу, составляют уравнение алгебры логики (уравнение событий безотказной работы системы) и затем - расчётное вероятностное уравнение.
При переходе от уравнения событий к вероятностному уравнению необходимо соблюдать правила определения вероятностей произведения и суммы событий, учитывая, что эти события могут быть зависимыми и независимыми, совместными и несовместными.
Правило умножения вероятностей событий имеет вид:
для зависимых событий
Р(А1А2…Аn) = Р(А1) Р(А2/А1) Р(А3/ А1А2)…Р(Аn/А1А2…Аn-1), (48)
где
Р(Аn/А1А2…Аn-1) – условная вероятность появления события Аn, определённая при условии, что произошли события А1, А2,…, Аn-1;
для независимых событий
P(А1А2…Аn)= Р(А1) Р(А2)…Р(Аn). (49)
|
|
Правило сложения вероятностей событий имеет вид:
для несовместных событий
Р(А1 + А2 + …+ А n) = Р(А1) + Р(А2) + …+ Р (АN); (50)
для двух совместных независимых событий
Р(А1 +А2) = Р(А1) + Р(А2) – Р(А1) Р(А2) (51)
для двух совместных зависимых событий
Р(А1 +А2) = Р(А1) + Р(А2 – Р(А1) Р(А2 /А1); (52)
для трёх совместных независимых событий
Р(А1 + А2 + А3) = Р(А1)+ Р(А2) + Р(А3) – Р(А1 А2) – Р(А1 А3) – Р(А2 А3) + +Р(А1 А2 А3). (53)
Таким образом, вероятность произведения независимых событий и вероятность суммы несовместных событий определить легко. Этим можно воспользоваться, например, при сложении совместных событий: чтобы не производить громоздких вычислений, лучше перейти к противоположному событию
Р(А1 + А2 + …+Аn) = 1 – Р(А1 А2 …Аn).
Независимые события А и В при ненулевых вероятностях Р(А)и Р(В) всегда совместны. Однако, совместность событий не обязательно влечёт за собой их независимость.
Зависимые события А и В при ненулевых вероятностях Р(А) и Р(В) могут быть как совместными, так и несовместными. Несовместные события А и В при ненулевых вероятностях Р(А) и Р(В) всегда зависимы.
При составлении функций алгебры логики для оценки безотказности систем можно применять два метода.
Первый метод состоит в определении всех возможных минимальных условий по безотказности элементов, которые обеспечивают работоспособное состояние системы.
Второй метод состоит в рассмотрении всех возможных несовместных работоспособных состояний системы.
Первый метод, как правило, короче, но в этом случае требуется учитывать совместность событий работоспособных состояний системы. Второй метод более громоздкий, но практически безошибочен.
|
|
Различие методов видно на следующем примере. Из анализа функционирования системы (рис. 5) определены условия её работоспособности: работоспособность сохраняется при сохранении работоспособности любых двух элементов системы.
|––––––––––|––––––––––|
А В С
|––––––––––|––––––––––|
Рис.5. Принципиальная схема системы
Воспользуемся первым методом составления функции алгебры логики
или логической матрицы. Логическая матрица представлена на рис.6.
AB
S = │ ВC │
AC
Рис.6. Логическая матрица для первого метода расчёта
Уравнение событий имеет вид S = АВ + ВС + АС.
Вероятность безотказной работы системы
Р(S) = Р(АВ) + Р(ВС + АС) – Р[ АВ(ВС + АС)] =
= Р(А) Р(В) + Р(В)Р(С) + Р(А)Р(С) – Р(А)Р(В)Р(С) – Р(А)Р(В)Р(С) =
= Р(А) Р(В) + Р(В) Р(С) + Р(А) Р(С) – 2Р(А) Р(В) Р(С).
Если Р(А) = Р(В) = Р(С) = р, то Р(S) = 3р2 - 2р3.
Воспользуемся вторым методом. Логическая матрица представлена на рис.7.
ABС
S = │ ABC │
ABС
АBС
Рис.7. Логическая матрица для второго метода расчёта
Уравнение событий S = АВС + АВС + АВС + АВС .
Вероятность безотказной работы системы
Р(S) = Р(АВС)+ Р(АВС)+ Р(АВС) + Р(АВС)= Р(А) Р(В) Р(С) +Р(А )Р(В)Р(С) +
+ Р(А)Р(В )Р(С) + Р(А) Р(В) Р(С ).
Если Р(А) = Р(В) = Р(С), то Р(А ) = Р(В ) = Р(С ) = q, так как если А, В, С – события, заключающиеся в том, что эти элементы системы работоспособны, то
А , В , С – события, заключающиеся в том, что произошёл отказ соответствующего элемента. Поскольку каждый элемент рассматривается только в двух возможных состояниях, то Р(А) + Р(А ) = p + q = 1.
При втором методе окончательно результат выражается в виде Р(S) = p3 + 3p2q.
Так как в большинстве случаев перебор вариантов работоспособных состояний в системах транспортных машин не очень велик, то рекомендуется применять второй метод.