Условный экстремум и его нахождение

Пусть — открытое множество и на заданы функции . Пусть .

Эти уравнения называют уравнениями связей (терминология позаимствована из механики).

Пусть на определена функция . Точка называется точкой условного экстремума функции относительно уравнений связи, если она является точкой обычного экстремума на множестве E (рассматриваются окрестности ).

Теорема: Пусть — точка условного экстремума функции при выполнении уравнений связи. Тогда в этой точке градиенты являются линейно зависимыми, то есть но .

Следствие: Если — точка условного экстремума функции относительно уравнений связи, то такие, что в точке или в координатном виде .

Достаточное условие условного экстремума: Пусть является стационарной точкой функции Лагранжа при . Если — отрицательно (положительно) определена квадратическая форма переменных при условии , то является точкой max (min для положительно определенной) условного экстремума. Если она при этих условиях не является знакоопределенной, тогда экстремума нет.

18) Производная функции по направлению.

В математическом анализе, производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.

Рассмотрим функцию от аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции в точке по направлению следующим образом: