Ро́тор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.
Обозначается
(в русскоязычной литературе) или
(в англоязычной литературе),
а также — как векторное умножение дифференциального оператора набла на векторное поле:
Результат действия этого оператора на конкретное векторное поле F называется ротором поля F или просто ротором F и представляет собой новое векторное поле:
Поле rot F (длина и направление вектора rot F в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле[3] вращательную составляющую поля F соответственно в каждой точке.
Ротор (вихрь) векторного поля
или в символическом виде
Свойства ротора
29) Дифференцированное уравнение с разделяющимися переменными.
30) Неоднородное линейное уравнение 1 порядка. Решение методом Бернулли.
31) Неоднородное линейное уравнение 1 порядка. Решение методом Лагранжа.
32) Уравнение Бернулли и его решение.
Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:
называется уравнением Бернулли (при или получаем неоднородное или однородное линейное уравнение).
При является частным случаем уравнения Риккати. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году.
Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.
Первый способ: Разделим все члены уравнения на
получим
Делая замену
и дифференцируя, получаем:
Это уравнение приводится к линейному:
и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.
Второй способ: Заменим
тогда:
Подберем так, чтобы было
для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определен получаем уравнение — уравнение с разделяющимися переменными.
33) Уравнение в полных дифференциалах и его решение.
34) Уравнение с интегрирующим множителем.
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
где P (x,y) и Q (x,y) − функции двух переменных x и y, непрерывные в некоторой области D. Если
то уравнение не будет являться уравнением в полных дифференциалах. Однако мы можем попробовать подобрать так называемый интегрирующий множитель, представляющий собой функцию µ (x,y), такую, что после умножения на нее дифференциальное уравнение преобразуется в уравнение в полных дифференциалах. В таком случае справедливо равенство:
Это условие можно записать в виде:
Последнее выражение представляет собой уравнение в частных производных первого порядка, которое определяет интегрирующий множитель µ (x,y).
К сожалению, не существует общего метода нахождения интегрирующего множителя. Однако можно упомянуть некоторые частные случаи, для которых можно решить полученное уравнение в частных производных и, в результате, определить интегрирующий множитель.
1. Интегрирующий множитель зависит от переменной x: µ = µ (x).
В этом случае мы имеем , поэтому уравнение для µ (x,y) можно записать в виде:
Правая часть этого уравнения должна быть только функцией от x. Функцию µ (x) можно найти, интегрируя последнее уравнение.
2. Интегрирующий множитель зависит от переменной y: µ = µ (y).
Аналогично, если , то мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение, определяющее интегрирующий множитель µ:
где правая часть зависит только от y. Функция µ (y) находится интегрированием данного уравнения.
3. Интегрирующий множитель зависит от определенной комбинации переменных x и y: µ = µ (z(x,y)).
Новая функция z (x,y) может быть, например, типа:
и так далее.
Здесь важно, что интегрирующий множитель µ (x,y) будет являться некоторой функцией одной переменной z:
и может быть найден из дифференциального уравнения:
Предполагается, что правая часть уравнения зависит только от z и знаменатель не равен нулю.
Ниже мы рассмотрим некоторые частные случаи уравнения
для которых можно найти интегрирующий множитель. Общие условия существования интегрирующего множителя выводятся в теории групп Ли.
35) Уравнение 2 порядка, допускающее понижение порядка и его решение.
36) Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференцированного уравнения вида { }
37) Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференцированного уравнения 2 порядка.