Связь с градиентом

Производную по направлению дифференцируемой по совокупности переменных функции можно рассматривать как проекцию градиента функции на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления:

Отсюда следует, что максимальное значение в точке производная по направлению принимает, если направление совпадает с направлением градиента функции в данной точке.

19) Градиенты функции двух переменных.

20) Двойной интеграл. Геометрический и физический смысл.

Двойным интегралом называют кратный интеграл с .

. Здесь — элемент площади в рассматриваемых координатах.

В прямоугольных координатах: , где — элемент площади в прямоугольных координатах.

Геометрический смысл двойного интеграла:

Пусть функция принимает в области только положительные значения. Тогда двойной интеграл численно равен объему вертикального цилиндрического тела, построенного на основании и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности

21) Вычисление двойного интеграла по прямоугольной области.

Пусть область интегрирования R представляет собой прямоугольник . Тогда двойной интеграл в такой области выражается через повторный интеграл в следующем виде:

В данном случае область интегрирования R относится одновременно к типу I и II, так что у нас есть возможность выбирать, по какой переменной (x или y) начинать интегрировать функцию f (x,y). Обычно удобнее начинать с более простого интеграла.

В частном случае, когда подынтегральная функция f (x,y) "расщепляется" на произведение f (x) g (y), двойной интеграл равен произведению двух определенных интегралов:

Вычислить двойной интеграл в области .

Решение.

Как видно, подынтегральная функция f (x,y) представляет собой произведение f (x) g (y). Следовательно, интеграл равен

22) Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат (рисунок 1).   Рис.1   Рис.2 Якобиан такого преобразования имеет вид Следовательно, дифференциальный элемент в полярных координатах будет равен Пусть область интегрирования R в полярных координатах определяется следующим образом (рисунок 2): Тогда двойной интеграл в полярных координатах описывается формулой Будем называть полярным прямоугольником область интегрирования, показанную на рисунке 3 и удовлетворяющую условиям В этом случае формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид Будьте внимательны, чтобы не пропустить сомножитель (якобиан) r в правой части этой формулы!   Рис.3   Рис.4

Пример 1:

Вычислить двойной интеграл , преобразовав его в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой сектор круга радиусом . Решение. Область R в полярных координатах описывается множеством (рисунок 4). Применяя формулу получаем