Тройной интеграл

Тройным интегралом называют кратный интеграл с :

где — элемент объема в рассматриваемых координатах

24) Криволинейный интеграл 1 рода.
Пусть кривая C описывается векторной функцией , где переменная s представляет собой длину дуги кривой (рисунок 1).

Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как

Криволинейный интеграл существует, если функция F непрерывна на кривой C.


Рис.1		Рис.2

Свойства криволинейного интеграла первого рода

Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами:

Интеграл не зависит от ориентации кривой;

Пусть кривая C ₁ начинается в точке A и заканчивается в точке B, а кривая C ₂ начинается в точке B и заканчивается в точке D (рисунок 2). Тогда их объединением будет называться кривая C ₁ U C ₂, которая проходит от A к B вдоль кривой C ₁ и затем от B к D вдоль кривой C ₂. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение

Если гладкая кривая C задана параметрически соотношением и скалярная функция F непрерывна на кривой C, то

Если C является гладкой кривой в плоскости O xy, заданной уравнением , то

Если гладкая кривая C в плоскости O xy определена уравнением , то

В полярных координатах интеграл выражается формулой

где кривая C задана в полярных координатах функцией .

25) Криволинейный интеграл 2 рода.
Предположим, что кривая C задана векторной функцией , где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции

представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1).

В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осейO x, O y и O z, соответственно.


Рис.1		Рис.2

Введем векторную функцию , определенную на кривой C, так, чтобы для скалярной функции

существовал криволинейный интеграл . Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривой C и обозначается как

Таким образом, по определению,

Где − единичный вектор касательной к кривой C.

Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме:

Где .

Если кривая C лежит в плоскости O xy, то полагая R = 0, получаем

Свойства криволинейного интеграла второго рода

Криволинейный интеграл II рода обладает следующими свойствами:

Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B. Обозначим через −C кривую противоположного направления - от B к A. Тогда

Если C − объединение кривых C ₁ и C ₂ (рисунок 2 выше), то

Если кривая C задана параметрически в виде , то

Если кривая C лежит в плоскости O xy и задана уравнением (предполагается, что R = 0и t = x), то последняя формула записывается в виде

26) Формула Остроградского-Грина и ее приближение к вычислению интеграла по замкнутому контуру.

27) Дивергенция векторного поля.
Дивергенция (от лат. divergere — обнаруживать расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть, в результате применения к векторному полю операции дифференцирования получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле», точнее, насколько расходятся входящий и исходящий потоки. Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учётом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции: дивергенция — это линейный дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность достаточно малой (в условиях конкретной задачи) окрестности каждой внутренней точки области определения поля.

Оператор дивергенции, применённый к полю , обозначают как или

.
Определение дивергенции выглядит так:

где Ф _F — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объём V. Ещё более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объёмом V допускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю (то есть чтобы вся поверхность находилась в бесконечно малой окрестности данной точки, что нужно, чтобы дивергенция была локальной операцией и для чего очевидно недостаточно стремления к нулю площади поверхности и объёма ее внутренности). В обоих случаях подразумевается, что

Пусть задано векторное поле

Дивергенцией или расходимостью векторного поля называется скалярная функция, определяемая равенством:

На этот раз векторное поле порождает скалярное поле div .

С учетом понятий дивергенции и потока векторного поля формулу Остроградского можно представить в форме:

т. е. поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по области, ограниченной этой поверхностью.

На основании формулы (3.38) можно записать: и, переходя к пределу, стягивая V в точку М (при этом величина V → 0), имеем:

То есть div есть предел отношения потока поля через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую точку М, к величине объёма, ограниченного этой поверхностью. Из этого следует, что дивергенция не зависит от выбора системы координат.

Если поток , то в область V втекает большее количество жидкости (если следовать ранее рассмотренному примеру о течении несжимаемой жидкости), чем вытекает из неё, т.е. внутри области V имеются источники жидкости.

Если П < 0, то внутри области V есть стоки.
Но поток векторного поля характеризует интенсивность источников и стоков лишь суммарно, т.е. при П ≥ 0 внутри области V могут быть как источники, так и стоки.

Для характеристики точки можно использовать div .

Если div > 0, то данная точка есть источник, если div < 0 – то сток.

Заметим, что div можно записать с помощью символического вектора Гамильтона
в следующем виде: