Делимость целых чисел

Определение и свойства делимости.

Целое число а делится на целое число b ≠ 0, если существует такое целое число с, что а = bс.

Если а делится на b, то kа делится на b.

Если целые числа а и b делятся на целое число m, то сумма а + b и разность а- b делятся на m.

Если а кратно m и m кратно b, то а кратно b.

Если а делится на k, b делится на n, то произведение аb делится на произведение kn.

Задачи для самостоятельного решения

1. Число а кратно 5. Докажите, что число 3 а кратно 15.

2. Числа а и b делятся на с. Докажите, что число а – b делится

на с.

3. Число а кратно 4, число b кратно 7. Докажите, что число

аb кратно 28.

4. Число а кратно 3. Докажите, что число 2 а ² + 6 а делится на 18.

5. Число а кратно 2, число b кратно 9. Докажите, что число

9 а + 2 b кратно 18.

6.Число а кратно 4, число b кратно 8. Докажите, что число

а ² – 2 b кратно 16.

7. Докажите, что сумма двухзначного числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, делится на 11.

8. Докажите, что разность двухзначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, делится на 9.

9. Докажите, что разность квадрата целого числа и самого числа есть четное число.

10. Докажите, что число вида аb(a – b), где а и b – целые числа, четное.

11. Докажите, что 1³+2³+…+59³ делится на 60.

12. Докажите, что 1³+2³+…+49³ не делится на 50.

Теорема о делении с остатком

Для любого целого числа а и натурального числа b, суще-

ствует единственная пара чисел q и r таких что а = bq + r, где q – целое, r – натуральное или нуль, причем r может принимать лишь b различных значений 0; 1; 2; _…; b – 1.

Если остаток r равен нулю, то число а делится на b.

Задачи для самостоятельного решения

1. Число а при делении на 8 даёт остаток 6. Чему равен остаток

от деления числа а на 4?

Ответ: 2 Указание. Записать данное число в виде

а = 8 k + 6 = 4(2 k + 1) + 2.

2. Число b при делении на 10 даёт остаток 7. Чему равен остаток от деления числа b на 2?

3. Напишите общий вид чисел кратных 4 и дающих при делении на 3 остаток 2.

4. Число а при делении на 5 даёт остаток 3. Чему равен остаток от деления на 5 числа а ² – 3 а?

5. Найдите все числа, которые при делении на 3 дают остаток 2, а при делении на 4 дают остаток 3.

6. Найдите все числа, которые при делении на 5 дают остаток 1, а при делении на 4 дают остаток 2.

7. Докажите, что если число а не кратно 3, то а ² – 1 делится на 3.

8.Существует ли такое целое число, которое при делении на 10 даёт в остатке 3, а при делении на 15 даёт в остатке 7?

9. Существует ли такое целое число, которое при делении на 24 даёт в остатке 10, а при делении на 16 даёт в остатке 3?

10. Докажите, что число n ³ – n кратно 6 при любом

натуральном n.

11. Докажите, что число n ³ – n кратно 24 при нечётном n.

12. Известно, а ² + b ² делится на 7. Докажите, что а ² + b ² делится на 49.

13. Известно, а ² + b ² делится на 3. Докажите, что а кратно 3 и

b кратно 3.