Смешанные оценки коэффициентов уравнения регрессии

Коэффициент уравнения регрессии	Смешанные оценки при генерирующем соотношении дробной реплики
x₄= x₁ x₂	x₄= x₁ x₂ x₃
b₀ b₁ b₂ b₃ b₄ b₁₂ b₁₃ b₂₃ b₁₂₃	b₀₌b₀₊b₁₂₄ b₁₌b₁₊b₂₄ b₂₌b₂₊b₁₄ b₃₌b₃₊b₁₂₃₄ b₄₌b₄₊b₁₂ _––– b₁₃₌b₁₃₊b₂₃₄ b₂₃₌b₂₃₊b₁₃₄ b₁₂₃₌b₂₃₊b₃₄	b₀₌b₀₊b₁₂₃₄ b₁₌b₁₊b₂₃₄ b₂₌b₂₊b₁₃₄ b₃₌b₃₊b₁₂₄ b₄₌b₄₊b₁₂₃ b₁₂₌b₁₂₊b₃₄ b₁₃₌b₁₃₊b₂₄ b₂₃₌b₂₃₊b₁₄ _–––

Как следует из данных табл. 3.7, при генерирующем соотношении x₄= x₁x₂ x₃ коэффициенты b₁, b и b₃ учитывают смешение с эффектами тройного взаимодействия и достаточно достоверны, еще выше уровень достоверности коэффициента b₀, смешанного с эффектом четверного взаимодействия, но коэффициенты, учитывающие влияние парных взаимодействий, рассчитаны недостаточно точно, так как парные взаимодействия смешаны между собой.

При генерирующем соотношении x₄=x₁x₂ эффекты парного взаимодействия оказываются смешанными с тройными взаимодействиями и рассчитываются более точно, чем при x₄= x₁x₂ x₃ _, но коэффициенты b₁ и b₂ рассчитываются с меньшим уровнем достоверности, так как они смешаны с парными взаимодействиями, зато коэффициенты b₀ и особенно b₃ рассчитываются весьма точно.

Из двух разновидностей рассмотренных дробных реплик более целесообразно использовать реплику с генерирующим соотношением x₄= =x₁x₂ x₃ _,которая позволит более качественно в целом оценить влияние параметров процесса x₁, x₂, x₃, x₄ на результат процесса Y. При использовании генерирующего соотношения x₄=x₁x₂ целесообразно в качестве параметра x₃ исследовать параметр, влияние которого на величину Y более интенсивно, чем для остальных параметров. Поскольку в рассматриваемой задаче исследуется химический процесс, то из перечисленных параметров температура является наиболее интенсивно влияющим на процесс фактором и первоначальный порядок исследуемых факторов следует изменить: x₁ – cостав сырья, x₂ – давление процесса, x₃ – температура процесса, x₄ – удельный расход сырья.

Матрицы планирования второго порядка

Для математического описания стохастическихнелинейных процессов обычно используют эксперименты, поставленные по матрицам планирования второго порядка, в частности, широкое применение нашли ортогональные композиционные планы второго порядка. Матрицы планирования для этих планов состоят из трех блоков: ядро плана – полный факторный эксперимент первого порядка или дробная реплика от полного факторного эксперимента; блок «звездных плеч» – экспериментов, опытные точки которых лежат на координатных осях области исследования (рис.3.8); блок опытов в центре плана – выполнение серии из параллельных опытов.

1 2

– +

8 9 7

–

4 3

Рис. 3.8. Построение композиционного плана второго порядка

для двух факторов в кодированных переменных

(точки – экспериментальные)

План в целом становится ортогональным при определенных значениях координат звездных плеч , число опытов в центре плана может быть любым и часто =1.

Следует отметить, что в ходе экспериментов сначала обычно исследования проводят по матрицам планирования первого порядка, а в том случае, когда разработанное уравнение регрессии первого порядка оказывается неадекватным, выполненный эксперимент полностью в виде первого блока (а также часто и третьего блока, используемого при проверке адекватности) переходит в композиционный план второго порядка, который остается дополнить экспериментами в блоке звездных плеч.

Число опытов в ортогональном композиционном плане второго порядка для факторов рассчитывается по формуле

. (3.57)

Так, например, для двух факторов план будет содержать минимальное число опытов =9.

Величина звездного плеча зависит от числа факторов и числа опытов в центре плана (табл. 3.9).

Таблица 3.9

Значения звездного плеча для различного числа факторов процесса

и опытов в центре плана

Параметр	=2	=3	=4	5
Ядро плана	2²	2³	2⁴	2^5-1 (дробная реплика)
при =1	1.00	1.48	2.00	2.39
при =2	1.16	1.65	2.16	2.58
при =3	1.32	1.82	2.39	2.77
при =4	1.48	2.00	2.58	2.95

Матрица планирования разрабатывается на базе выше трех блоков. В табл. 3.10 приведена матрица планирования второго порядка для двух факторов, которая должна позволить получить кодированное уравнение регрессии второго порядка

. (3.58)

Эта композиционная матрица даже с учетом значений звездных плеч, приведенных в табл. 3.9, еще не является ортогональной, ибо свойство ортогональности справедливо только для линейных матриц первого порядка; действительно в матрице произведение квадратичных столбцов не равно нулю:

, (3.59)

поэтому в матрице (табл.3.10) квадратичные столбцы заменяются столбцами псевдолинейных (фиктивных параметров) , значения которых рассчитываются по второй формуле кодирования

. (3.60)

Таблица 3.10

Ортогональная композиционная матрица планирования

второго порядка для двух факторов

N	x₀	x₁	x₂	x₁x₂	x₁²	x₂²			Y
	+1	–1	+1	+1	+1	+1	1/3	1/3	Y ₁
₂2	+1	+1	+1	+1	+1	+1	1/3	1/3	Y₂
₃3	+1	+1	–1	+1	+1	+1	1/3	1/3	Y₃
	+1	–1	–1	+1	+1	+1	1/3	1/3	Y₄
	+1		= +1				–2/3	1/3	Y₅
	+1		= –1				–2/3	1/3	Y ₆
	+1	= +1					1/3	–2/3	Y₇
	+1	= –1					1/3	–2/3	Y₈
	+1						–2/3	–2/3	Y₉

Композиционная матрица с псевдолинейными столбцами приобретает свойство ортогональности ()и позволяет разработать с учетом формулы для расчета коэффициентов уравнения регрессии

(3.61)

разработать псевдолинейное уравнение регрессии

. (3.62)

После расчета коэффициентов псевдолинейного уравнения регрессии (3.62) его переводят в квадратичную форму уравнения регрессии (3.58), заменяя псевдолинейные члены второй формулой кодирования (3.60), при этом, после приведения подобных членов уравнения, изменится только величина свободного члена уравнения :

, (3.63)

где М – число псевдолинейных членов уравнения (3.62).

При необходимости полученное квадратичное уравнение регрессии переводят из кодированной формы в натуральную, заменяя кодированные параметры первой формулой кодирования (3.31).

Недостатком композиционных ортогональных планов второго порядка является то, что при расчете различных видов коэффициентов уравнения регрессии учитывается различное число опытов, например в уравнении (3.58) коэффициенты рассчитываются по результатам 9 опытов (табл.3.10), – 6 опытов, – 4 опытов. Этот недостаток устраняется в ротатабельных композиционных планах второго порядка, однако они не ортогональны и его коэффициенты рассчитывают методом наименьших квадратов в полном объеме.