Кривые можно представлять аналитически, т. е. как график функции и графически. Математики записывают это в виде: y = f(x), что означает " у – это функция, значение которой зависит от значения х. Например, простейшая функция у = 2х означает простую зависимость: каждое значение у в два раза больше любого значения х. График этой функции есть прямая линия, проходящая через начало координат (рис. 1.1).
Более сложный вид представляют собой тригонометрические функции, например синусоида: у = sin х
График такой кривой известен каждому (рис. 1.2).
Рис. 1.1 График функции у = 2х
Рис. 1.2. График функции у = sinx
Такой способ представления функции и ее графика называют явным. Он позволяет относительно легко строить график. Однако у этого способа с точки зрения графического представления имеются существенные недостатки.
· Каждому значению х соответствует только одно значение у. Это не дает возможности начинать новый фрагмент кривой в произвольном месте.
· Кривая не может быть замкнутой.
В результате явный способ представления нельзя применять там, где требуется описание произвольных кривых, размещаемых в произвольных местах плоскости.
|
|
Альтернативный способ - определение кривой как параметрической функции.
У такого способа обе координаты (х и у) равноправны, т. е. обе координаты вычисляют как функции некоторого вспомогательного параметра, обозначаемого, часто символом t. В общем случае такая зависимость получает вид:
q(t) = {x(t), y(t)},
где х(t) и y(t) – функции параметра t.
Задавая одинаковые значения t, функция x(t) вычисляет значения координаты х, а функция y(t) – значения координаты у. Это очень важная особенность задания функции.
Знакомый пример. Можно представить, что значения параметра t – это отсчеты времени, в течение которого происходит перемещение определенной частицы вдоль произвольной кривой, например окружности. Параметрическая функция q(t) позволит получать пары координат {х, у}, по которым перемещается точка в различные моменты (значения) времени t. Хотя, в общем случае, не обязательно параметр t связывать со временем.
Второе важное качество параметрических кривых состоит в том, что они имеют более разнообразные формы, чем это позволяют явные уравнения.
Еще пример. Графики синусоиды и косинусоиды в явном виде не позволяют замкнуть линию, а две параметрические функции
x(t) = cost
y(t) = sint
создают окружность, если t "пробегает" значения между 0 и 360 градусов.
Справка. Параметрическое представление функции – это выражение функциональной зависимости между несколькими переменными введением вспомогательных переменных, которые принято называть "параметрами". Если мы располагаем двумя переменными, например, по оси х и по оси у, то зависимость между ними можно рассматривать как уравнение плоской кривой. Например, координаты х и у точек этой кривой определяются каким-то параметром, скажем, величиной t, которую определяют как некоторый диапазон непрерывных или дискретных значений. Особенно важно такое представление для пространственных кривых, поскольку обеспечивает более легкий способ построения графиков.
|
|
Применение параметрических функций делает возможным применять более сложные функции, а не только линейную аппроксимацию, поскольку один из основных недостатков аппроксимации прямыми заключается в образовании угловых изгибов, которые не создают впечатления гладкости. Поэтому неизбежной заменой прямолинейным сегментам могут быть только кривые, которые способны обеспечить требуемую гладкость (забегая вперед, можно сказать, что речь идет о кривых Безье и NURBS-кривых, наиболее часто применяемых в компьютерной графике). Но сначала более точно определим понятие гладкости.