Свойства определителей

1) При транспонировании матрицы определитель не изменяется, т.е. det A =det(A^T)

2) При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на обратный.

3) При круговой перестановке строк (столбцов) определитель не изменяется.

4) Если в определителе есть две одинаковые строки (столбца), то определитель равен 0; если одна из строк (столбцов) матрицы получается из другой строки (столбца) умножением на некоторый множитель, то определитель равен 0.

5) При умножении матрицы порядка n на число l определитель умножается на l ⁿ.

6) При умножении одной строки (столбца) на числоl определитель умножается на это число.

Обратная матрица

Определение обратной матрицы

Матрица В называется обратной для квадратной матрицы А, если AВ = ВА = Е, где Е - единичная матрица.

Обозначение: В=А ^-1

Необходимоe и достаточноe условие существования обратной матрицы: для того, чтобы для матрицы А существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был отличен от нуля. Если обратная матрица существует, то она единственная.

Элементы обратной матрицы даются формулой: a_ij = A_ji / det A

Замечание. Если det A = 0, то матрица называется вырожденной.

Свойства обратной матрицы.

1) (А ^-1)^T = (А ^T)^-1

2) (АВ)^-1= В ^-1 А ^-1